モノガミー不等式は次元を上げると破れる —— 量子もつれ攻略ノート（4）

本稿の位置づけ
第3稿で「結」と書いたが、続きができた。残った謎を整理していて、攻略に使った道具の一つであるモノガミー（相関の配分制）そのものに、足元の未解決問題が埋まっていると気づいたからである。第3稿で2,000例検証したCKW不等式は、実は量子ビット（2準位系）限定の定理であり、次元を上げると破れることが知られている。破れるならば、第3稿で「相関は資源である」と言った根拠も、配分の資源性を「解決」と等級づけた判定も揺らぐ。
そこで問いを立て直す。どの測り方（もつれ測度）なら、配分の不等式は次元によらず成り立つのか。これが本稿の的である。ここから先は、確立した理論の解説ではなく、未解決の問題に自分で手を出した記録になる。前シリーズの流儀で言えば、不等式の破れは失敗ではなく、正しい測度を教えてくれる測定器だ。

1. 前提の復習と、問題の正確な形

第3稿のCKW不等式 [Coffman–Kundu–Wootters 2000; n量子ビットへの拡張は Osborne–Verstraete 2006]：

τ_{A B} + τ_{A C} \leq τ_{A (B C)}

測度はタングル $τ = C^{2}$ （concurrenceの二乗）。量子ビットでは定理であり、第3稿でランダム2,000例が全て通ることを確認した。粒子が3準位（qutrit）以上になっても、この不等式は成り立つのか。

2. 破れの再現：完全反対称状態

2.1 対象の状態

Ou（2007）が指摘した反例を、当ノートの環境（素のPython。3つのqutritなので状態空間は27次元）で完全再現する。対象は3つのqutritの完全反対称状態：

∣ ψ ⟩ = \frac{1}{6} i, j, k \sum ε_{ij k} ∣ ij k ⟩

（ $ε$ は添字の並べ替えで符号が変わるテンソル。3粒子版の「シングレット」にあたり、どの2粒子を入れ替えても符号が反転するだけで形は変わらない。粒子の対等さという点では、これ以上ない状態である。）

2.2 検証1：部分空間の異常な均質性

まず $τ_{A B}$ の計算に必要な事実を検証する。この状態の2粒子縮約 $ρ_{A B}$ は、2-qutrit空間（9次元）の中の反対称部分空間（3次元）に台をもつ。この部分空間からランダムに3,000個の純状態を引いて $C^{2}$ を計算した：

min C^{2} = 1.0000000000, max C^{2} = 1.0000000000

全点で厳密に1、小数点以下10桁までばらつきがない。これは偶然ではなく幾何学の帰結である。3次元空間の反対称2形式はすべて $e_{x} \land e_{y}$ の形に分解できる（外積代数の初等事実）ので、この部分空間にある状態はどれも、「2次元分だけ最大にもつれた状態」を基底を取り替えて書き直したものにすぎない。

この均質性のおかげで、混合状態のconcurrence（凸屋根＝あらゆる分解の平均の最小値）が挟み撃ちで厳密に確定する。台にある純状態のconcurrenceがどれも1なのだから、どう分解しても平均は1以上になり、基底での分解が1を達成する。ゆえに $C_{A B} = 1$ 。

2.3 検証2：不等式の破れ

τ_{A (B C)} = 2 (1 - tr ρ_{A}^{2}) = 1.3333333333 = \frac{4}{3}

（ $ρ_{A} = I /3$ の直接計算）。一方 $τ_{A B} = τ_{A C} = 1$ （検証1）なので：

τ_{A B} + τ_{A C} = 2 > \frac{4}{3} = τ_{A (B C)} 破れ幅 = \frac{2}{3}

qubitの定理はqutritで反例をもつ。 配分の言葉で言えば、Aが配れる総量は4/3しかないのに、BとCへ1ずつ、合計2が配られている。タングルという測度は、高次元では同じ相関を二重に数えてしまう。

2.4 なぜ破れるのか

破れの源は検証1の均質性そのものである。qubitでは「BともCとも同時に強くもつれる」ことを状態空間の狭さが禁じるが、qutritの反対称状態は、同じ相関の自由度をBとCで共有できる。3粒子が完全に対等な構造のため、AB間の相関とAC間の相関が「同じ1枚の記録を、二つの窓から見たもの」になっているのである。タングルはこの共有を検出できず、窓ごとに最大値を数え上げてしまう。

3. 配分の上限をどう数えるか：どの測度なら不等式が成り立つか

3.1 負性（negativity）で測り直す

同じOu状態を、計算可能な別の測度、負性 $N$ （部分転置の負固有値の合計。凸屋根不要で直接計算できる）で測り直した：

量	値
$ρ_{A B}$ の部分転置の固有値	${- \frac{1}{3}, \frac{1}{6} \times 8}$ （数値で6桁一致）
$N_{A B} = N_{A C}$	$0.3333333333$
$N_{A (B C)}$	$1.0000000000$
$N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2}$ vs $N_{A (B C)}^{2}$	$0.2222 \leq 1$ 　成立

タングルで破れた状態が、負性では余裕で不等式を満たす。負性はAB窓とAC窓の「共有」を正しく割り引いている（ $1$ ではなく $\frac{1}{3}$ と評価）。

3.2 統計的な検証

ランダムな3-qutrit純状態1,200例で $N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2} - N_{A (B C)}^{2}$ の最大値を調べた：

max = - 0.344 < 0 (反例ゼロ)

純3量子ビットでは、負性二乗のモノガミーが定理として知られている [Ou–Fan 2007]。混合状態まで含めた3量子ビットについては、凸屋根拡張負性（CREN, convex-roof extended negativity）という別の測度でモノガミーが示されている [Kim–Das–Sanders 2009]。CRENは混合状態で $N$ と一致しないので、素の負性 $N$ での混合3量子ビット版は、これらのどちらでも埋まらない（第6稿5節でこの区画が空白であることを確認する）。上の1,200例では、qutritでも破れは見つからなかった。

【訂正・新規性の確認】　本稿の初版はこの数値結果を「予想M3」として新規に提示したが、公開後の文献調査により、多準位系での負性系モノガミーはすでに活発に研究されている領域だと判明した。凸屋根拡張負性（CREN）の一般化モノガミー関係 [Sci. Rep. 6 (2016) 36700]、負性の多項式モノガミー関係 [arXiv:1502.04807] 等がある。したがって当ノートの1,200例は既知領域の独立な数値再確認に格下げする。研究ノートの規律として、新規性の主張は事前の文献調査なしに行ってはならない。この教訓自体を記録に残す。

3.3 測度選びの構造：忠実さとモノガミーは両立しない

「では万能の測度を探せばよい」と思いたくなるが、そこに構造的な制約があることが知られている。Lancienら（2016）の定理 [Lancien et al. 2016]：すべてのもつれ状態に非零の値をつける（忠実な）加法的測度は、全次元で普遍的なCKW型モノガミーを満たせない。しかも証明の主役は、本稿の反対称状態の族である。

つまりこの問いの答えは「良い測度を見つける」ではなく「トレードオフの中で何を諦めるか選ぶ」になる：

タングル：qubitでは完璧。高次元で不等式が破れる（本稿）。
負性：計算可能。純3量子ビットでは定理が知られ（混合3量子ビットは素の負性では空白のまま。第6稿5節）、qutritでは予想M3の段階にとどまる（本稿1,200例の位置づけは3.2節の訂正のとおり）。ただし束縛もつれ（部分転置が正のまま残るPPTもつれ）を検出できない＝忠実でない。Lancienの定理と整合する「諦め」を最初から引き受けている測度である。
スカッシュもつれ：全次元でモノガミー成立が定理 [Koashi–Winter 2004; Christandl–Winter 2004]。ただし計算がほぼ不可能（一つの値を求めるのも未解決級）。

深さの言葉でまとめる。深さ2の相関に「配分制」があること自体は正しい物理である。ではその配分をどう測るか。定理として確定しているのは、忠実さと加法性の両方を満たす測度は全次元での普遍的なCKW型モノガミーを満たせない、という二者択一までである（Lancien et al. 2016）。計算可能性はこの定理の主張には入っていない。

その上で本稿に並べた三つを見ると、普遍性（全次元でのモノガミー）・忠実さ・計算可能性が揃ったものは一つもなく、どれを諦めるかが違うだけになっている。ただしこれは定理ではなく3例からの観察であり、三つ目の同時成立が原理的に排除されているかどうかは、本稿の材料では言えない。いずれにせよ第3稿の「相関は資源」という結論は、どの測度で測るかを明示する限りで生き残る。

4. 本稿の結果一覧

結果	等級
反対称部分空間の全純状態で $C^{2} = 1$ （3,000点・10桁定数）	検証済み＋幾何学的証明
$C_{A B} = 1$ の凸屋根の厳密確定（挟み撃ち）	証明
Ou反例の再現： $2 > \frac{4}{3}$ 、破れ幅 $\frac{2}{3}$	検証済み（Ou 2007の再現）
負性はOu状態で不等式成立（ $0.222 \leq 1$ ）	検証済み
qutrit負性二乗モノガミー・1,200例反例なし	既知領域の独立再確認（訂正済み・3.2節）
忠実さ＋加法性 × 普遍モノガミーの非両立	既知の定理の引用（Lancien et al. 2016）
普遍性・忠実さ・計算可能性が揃った測度は本稿の3例にない	3例からの観察（定理ではない・3.3節）

参考文献

Y.-C. Ou, Violation of monogamy inequality for higher-dimensional objects, Phys. Rev. A 75 (2007) 034305：本稿の反例の原典。
V. Coffman, J. Kundu, W. K. Wootters, Phys. Rev. A 61 (2000) 052306；T. J. Osborne, F. Verstraete, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 220503：CKWとそのn-qubit拡張。
Y.-C. Ou, H. Fan, Monogamy inequality in terms of negativity for three-qubit states, Phys. Rev. A 75 (2007) 062308：純3量子ビットでの負性二乗モノガミーの定理。
J. S. Kim, A. Das, B. C. Sanders, Entanglement monogamy of multipartite higher-dimensional quantum systems using convex-roof extended negativity, Phys. Rev. A 79 (2009) 012329：素の負性ではなくCREN（凸屋根拡張負性）でのモノガミー。
M. Koashi, A. Winter, Phys. Rev. A 69 (2004) 022309；M. Christandl, A. Winter, J. Math. Phys. 45 (2004) 829：スカッシュもつれのモノガミー。
C. Lancien, S. Di Martino, M. Huber, M. Piani, G. Adesso, A. Winter, Should entanglement measures be monogamous or faithful?, Phys. Rev. Lett. 117 (2016) 060501：忠実さとモノガミーの非両立定理。
G. Vidal, R. F. Werner, Phys. Rev. A 65 (2002) 032314：負性の定義と性質。
多準位系の負性系モノガミー（訂正で参照）：Generalised monogamy relation of convex-roof extended negativity in multi-level systems, Sci. Rep. 6 (2016) 36700；Polynomial monogamy relations for entanglement negativity, arXiv:1502.04807。