正値性が最後の砦 —— 還元定理と補題L‡ —— 量子もつれ攻略ノート（8）

正値性が最後の砦 —— 還元定理と補題L‡

—— 量子もつれ攻略ノート（8）——

本稿の位置づけ
第7稿は予想M3'（混合3量子ビットの負性二乗モノガミー $a^{2} + b^{2} \leq n^{2}$ ）への部分定理群を固め、隙間を「整列領域での正値性の活用」に絞った。本稿はその隙間に踏み込む。成果は三つ：前提の修正（単一負固有値はほぼ測度ゼロ）、還元定理（M3'が一つの綺麗な補題に帰着する）、そして障害の特定（その補題は正値性なしでは偽——明示的な反例を構成した）。証明は完成していないが、「何を証明すればよいか」と「何を使わなければ証明できないか」の両方が確定した。

1. 前提の修正：負固有値は普通2個ある

第7稿の解析は「 $X = ρ^{T_{A}}$ の負固有値が1個」を暗黙に想定した場面があった。測ってみた（ランダム混合状態1,000例、 $8 \times 8$ の部分転置のスペクトル）：

負固有値の個数	1	2	3
頻度	10	973	17

97%は2個。単一固有値の解析は美しいが、ほぼ測度ゼロの世界の話だった。前シリーズから数えて7度目の「前提の実測による修正」である。定式化を負部分全体でやり直す。

2. 還元定理：M3'は一つの補題に帰着する

$X = ρ^{T_{A}}$ 、 $X = X^{+} - X^{-}$ （正部分・負部分）、 $n = Tr X^{-}$ 。2量子ビットの縮約の負固有ベクトル $v \in A B$ 、 $w \in A C$ （ $T_{A}$ 規約）に対し、整列度を定義する：

\overset{p}{ˉ} = \frac{⟨ v ∣ Tr _{C} X ^{-} ∣ v ⟩}{n}, \overset{q}{ˉ} = \frac{⟨ w ∣ Tr _{B} X ^{-} ∣ w ⟩}{n} (\overset{p}{ˉ}, \overset{q}{ˉ} \in [0, 1])

読み下すと： $\overset{p}{ˉ}$ は「 $X$ の負の質量の $A B$ 影が、 $A B$ 側の負方向 $v$ とどれだけ重なっているか」。

還元定理（証明済み）　 $a \leq n \overset{p}{ˉ}$ かつ $b \leq n \overset{q}{ˉ}$ 。したがって
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証明　 $a = - ⟨ v ∣ Tr_{C} X ∣ v ⟩ = ⟨ v ∣ Tr_{C} X^{-} ∣ v ⟩ - ⟨ v ∣ Tr_{C} X^{+} ∣ v ⟩ \leq n \overset{p}{ˉ}$ （落とした第2項は非負）。 $b$ も同様。あとは二乗和。 $■$

数値サニティ：257例で $max (a - n \overset{p}{ˉ}) = - 0.035 \leq 0$ ✓。つまり予想M3'の証明は、補題L‡——「二つの影の整列度はピタゴラス的に排他である」——の証明に置き換わった。L‡は負部分 $X^{-}$ と2つの固有ベクトルだけの言明であり、元の不等式より遥かに手触りが良い。

補題L‡の数値証拠：ランダム257例で $max (\overset{p}{ˉ}^{2} + \overset{q}{ˉ}^{2}) = 0.938$ 、敵対的家族（Bell混合＋ひねり）339例で $0.983$ ——1に肉薄するが越えない。等号への接近は第7稿の等号多様体（単一ペア退化）と同じ場所で起きる。

3. 障害の特定：正値性なしでは偽である

L‡はただの行列不等式として（ $ρ \geq 0$ を忘れて）成り立つのか？　成り立つなら証明は線形代数で済む。成り立たない。 明示構成：

X = (1 + n) ∣111 ⟩ ⟨ 111∣ - n Φ_{A B}^{+} \otimes ∣0 ⟩ ⟨ 0 ∣_{C} (n = 0.3)

この $X$ を「部分転置」とみなすと、対応する $ρ = X^{T_{A}}$ は最小固有値 $- 0.15$ をもつ非物理的な演算子である。そして測ると：

(a, b, n) = (0.167, 0.300, 0.300) \frac{a ^{2} + b ^{2}}{n ^{2}} = 1.31 > 1

構成の理屈：負の質量を $A B$ のBell方向に集中させると（ $a$ 側の影が満額）、その $A C$ 影は $\frac{I _{A}}{2} \otimes ∣0 ⟩$ に広がり、 $X^{+}$ を薄く敷けば $A C$ 側にも負方向が立つ——両取りができてしまう。理論上この比率は2（第7稿の√2定理の上限）まで上げられる。

障害定理（実証）　補題L‡およびM3'は、 $ρ \geq 0$ を課さないエルミート演算子の世界では偽。したがっていかなる証明も、状態の正値性を本質的に使わなければならない。

これは消極的な結果に見えて、実は最大の収穫である。(i) 第7稿の定理3（射影の幾何）だけで閉じられなかった理由が判明した——幾何は正値性を知らない。(ii) 物理状態では上の「両取り」が禁止される理由も見えている： $ρ \geq 0$ のとき、負の質量が $A B$ -Bell方向に完全集中すると $Tr_{B} X$ の負方向が消える（第7稿のWerner例で $b = 0$ を実測済み）——角は自壊する。L‡はこの自壊の定量版であり、正値性の注入口は橋の補題（第7稿）の型—— $⟨ v ∣ \cdot ∣ v ⟩$ を $ρ$ に押し当てて純状態射影の部分転置スペクトルで評価する——が最有力である。

4. デバッグの記録

途中、サニティ検査 $a \leq n \overset{p}{ˉ}$ が破れて見える事件があった。原因は数学ではなくコードで、(1) 負固有値が縮退に近いときの逆反復が固有ベクトルを混ぜていた（固有ベクトルつきJacobiで負部分 $X^{-}$ を厳密に構成して解決）、(2) 転置の規約の不一致——2体の負性計算は $T_{B}$ 側、全体は $T_{A}$ 側で書いていたため、固有ベクトルに複素共役1枚の差があった（エルミート行列では $M^{T} = \overset{ˉ}{M}$ なので固有ベクトルが共役になる）。恒等式ベースのサニティ検査を仕込んであったから両方とも即日で捕まった——証明の下書きに数値のサニティを並走させる流儀は、この種の研究で費用対効果が最も高い習慣だと改めて記録しておく。

5. 現在地の帳簿

項目	状態
負固有値個数の分布（97%が2個）	実測（前提の修正）
還元定理 M3' ⟸ L‡	証明済み（3行）＋サニティ257例
補題L‡ $\overset{p}{ˉ}^{2} + \overset{q}{ˉ}^{2} \leq 1$	予想：596例で最大0.983・破れなし
正値性なしの反例（比率1.31、理論上限2）	構成済み——L‡は行列解析だけでは偽
角の自壊（負質量のBell集中 ⟹ 他方の負性消滅）	実測（Werner例・第7稿）＋機構の言語化
M3'本体	未証明。的はL‡一点、武器は正値性＋橋の補題型の評価

証明の残り工程を一行で言えば：「 $ρ \geq 0$ が、 $X^{-}$ の $A B$ 影と $A C$ 影の同時整列をピタゴラス円内に制限することを示せ」。問題は最初（前稿）の8次元の不等式から、単位円の中の1点の話にまで縮んだ。

参考文献

第6・7稿（本シリーズ）：予想M3'・√2定理・角度つき評価・等号解析。
A. Sanpera, R. Tarrach, G. Vidal, Phys. Rev. A 58 (1998) 826：2量子ビットPTの負固有値は高々1個。
H. He, G. Vidal, Phys. Rev. A 91 (2015) 012339：純状態版の予想。
M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223 (1996) 1：PPT判定。
検証コード：負部分の厳密構成（固有ベクトルつきJacobi）・サニティ・L‡検査・非物理反例——素のPython、乱数種つき。