機構の解答と、残る本物の謎 —— 量子もつれ攻略ノート（3・結）

本稿の位置づけ

最終稿。第1稿で「何も飛んでいない」（no-signaling・$10^{-17}$）、第2稿で「答えの表でもない」（ベルの定理・$2\sqrt{2}>2$）を確定させた。残った仕事は三つ。相関の配分制限（モノガミー）の検証、「なぜ $2\sqrt{2}$ で止まるのか」の一段深い理由、そして機構としての最終解答である。今回も検証はすべて素のPythonで再現できる。

1. 相関は配分制である：モノガミーの検証

1.1 局所隠れ変数との最後の違い

あらかじめ決まった答えの表なら、相関は好きなだけ複製できる。同じ表を100人に配れば、100人全員がその答えと完全相関した情報を持てる。量子の相関はどうか。

CKWモノガミー不等式 [Coffman–Kundu–Wootters 2000]　3粒子系で、AとBのもつれ（タングル ${\tau }_{AB}$）とAとCのもつれ ${\tau }_{AC}$ の合計は、AがBとCをひとまとめの相手として持つもつれの総量（下の右辺）を超えられない：$${\tau }_{AB}+{\tau }_{AC}\le {\tau }_{A(BC)}$$

AがBと最大にもつれたら、Cとは一切もつれられない。相関は無限にコピーできる「情報」ではなく、総量規制つきで配分される「資源」である。

1.2 数値検証

ランダムな3量子ビット純状態2,000個で左辺−右辺の最大値を調べた：

配分の両極端も確認した：

GHZは「深さ3にすべてを置いた」状態、Wは「深さ2に配り切った」状態である。前シリーズの深さごとの数え上げが、ここでは配分表として働いている。

このモノガミーは実用の根拠でもある：もつれを配って鍵を作る量子鍵配送 E91 [Ekert 1991] の安全性は、「盗聴者Eveが相関を盗めば、その分だけ正規ペアの相関が必ず減る（総量規制）」ことに依っている。あらかじめ決まった答えの表なら、盗み見てもバレない。量子の相関は、盗むと配分の総量が合わなくなる。

ここでモノガミーが効くのは、もつれを使うE91の側である。より古いBB84 [Bennett–Brassard 1984] はもつれを一切使わず、送信側が単一光子を用意して送る prepare-and-measure 方式で、安全性の根拠が別物になる。こちらは、Eveが正しい基底を知らずに測ると状態そのものが乱れ、その擾乱が受信側の誤り率として現れるという情報‐擾乱トレードオフに依る。モノガミーは共通の説明にならないので、二つを一括りにしない。

2. なぜ $2\sqrt{2}$ で止まるのか：PRボックスと情報因果律

2.1 no-signalingだけでは足りない

「光速通信ができない範囲で最強の相関」が量子だ、と考えたくなる。これは間違いで、反例が構成できる。PRボックス [Popescu–Rohrlich 1994] という架空の装置である。AliceとBobがそれぞれ手元の箱に1ビットの入力 $x,y\in \{0,1\}$ を入れると、1ビットの出力 $a,b\in \{0,1\}$ が返る（$a$ がAliceの出力、$b$ がBobの出力）。各自の出力は単体では完全にランダムな半々だが、二人の出力のあいだには必ず

が成り立つ。$\oplus$ は排他的論理和（値が違えば1、同じなら0）、$x\cdot y$ は入力の積、つまり論理積である。読み下せば「二人の入力がともに1のときだけ出力が食い違い、それ以外の3通りでは必ず一致する」という装置になる。これを定義通りに組んで計算すると：

（検証：定義通りに全16通りの入出力確率を組んでCHSHを計算、ちょうど4.0）。つまり「信号を送れないこと」は相関の強さを $2\sqrt{2}$ までに制限しない。自然はPRボックスを作れたはずなのに、作らなかった。なぜか。

2.2 情報因果律

現在知られている最良の答えが情報因果律 [Pawłowski et al. 2009]：「$m$ ビットの古典通信を受けた受信者が得られる情報は $m$ ビットまで」という原理である（$m=0$ がno-signaling、その自然な拡張）。この原理を課すと、相関の上限としてちょうど $2\sqrt{2}$ が導かれる。PRボックスが実在すると、1ビットの通信で2ビット以上を引き出せる「情報の錬金術」が可能になってしまい、情報因果律が壊れる。

第2稿の深さごとの情報量と並べると、この原理の位置が見える。量子は深さ2に古典の2倍（2ビット）を置けるが、取り出せるのは1ビットの通信につき1ビットまでである。蓄えられる量は倍でも、取り出しの規則は古典と同じ。その取り出し規則の名が情報因果律であり、$2\sqrt{2}$ はこの規則が許す最大の相関の強さである。ただし「情報因果律だけから量子力学のすべてが出るか」は未解決の研究課題であり、ここは正直に「有力な部分解」と等級づける。

3. 機構の解答

部品が揃った。最初の疑問「なぜ片方を測ると、もう片方が瞬時に決まるのか」への解答を、五つの部品で組み上げる。

1. 何も飛ばない（第1稿・定理＋$10^{-17}$）。Aliceの操作はBobの物理を変えない。光速の上限は最初から破られていない。
2. 相関は生成時に、局所的に書き込まれる（第1稿）。2粒子が同じ場所で相互作用したときに、深さ2（ペアの相関）に記録が置かれる。以後、記録は動かない。粒子が運ぶのは記録の「自分側の断片」である。
3. その記録は答えの表ではない（第2稿・全数検査＋実験）。表なら $|S|\le 2$。自然は $2\sqrt{2}$ を出す。深さ2に置かれているのは、どの測定の組にも $-\cos (a-b)$ で応える相関関数そのものであり、古典（1ビット）の2倍の容量を使っている。
4. 強さには上限がある（第2稿・第3稿）。非可換性の恒等式が $2\sqrt{2}$ を課し（Tsirelson）、その値は情報因果律の取り出し規則と整合する。さらに相関は配分制（モノガミー・2000例検証）で、無限にコピーできる古典情報と資源として区別される。
5. 「瞬時」の正体は条件つき分布の更新（第1稿）。読み出しの完成（二つの断片の照合）には古典通信が必要で、そこで光速が守られる。

解答　「片方を測るともう片方が瞬時に決まる」のではない。ペア生成のときに深さ2へ局所的に書き込まれた相関関数を、それぞれが自分側から読んだだけである。飛ぶものは何もなく、答えの表もなく、あるのは古典より強い（しかし $2\sqrt{2}$ を上限とし、配分制限つきの）相関関数である。アインシュタインの「不気味な遠隔作用」は、作用ではなかった。不気味さの実体は、遠隔にあるのではなく、深さ2という置き場所が日常の直観（深さ1の世界）にないことにあった。

前シリーズの最終章（第7部第9章）はブラックホールについて「情報は動かない、地平が動く」と書いた。もつれの解答は同じ動詞の訂正の親戚である。情報は飛ばない、最初から深さ2にある。

4. 残る本物の謎：正直な等級づけ

疑問の主要部は解決したが、すべてが解けたと言うのは誠実でない。残っているものを明示する：

最後の行が、本物の謎である。本シリーズの解答は「相関はどう保存され、どう読まれるか」を完全に説明するが、「読んだとき、重ね合わせのどちらか一方がなぜ・どのように現実になるのか」には触れていない。これは量子力学の解釈問題（コペンハーゲン、多世界、QBism、客観的収縮…）そのものであり、現時点で実験で判別できる差を持つ提案は限られている [レビューとして Zurek 2003]。もつれの疑問の「不気味さ」の最後のひとかけらは、実はもつれ固有のものではなく、量子測定そのものの謎だった。疑問を解剖し切った結果として、残ったものがどの棚に属するかまで特定できたことを、本シリーズの成果として記録する。

5. シリーズの結び

三稿の総括：2件の定理の数値検証（no-signaling $10^{-17}$、Tsirelson恒等式 $10^{-15}$）、全数検査1件（隠れ変数16戦略）、10桁一致1件（$2\sqrt{2}$）、統計的検証1件（モノガミー2000例）、反例構成1件（PRボックス）。疑問「なぜ瞬時に決まるのか」は、「瞬時に何も起きていない。作られたときに深さ2に書き込まれた、古典より強く・上限と配分制限のある相関関数を、二つの断片が揃って読めるようになってから読んだだけ」と解答された。残る謎は測定問題として棚が特定された。

なお本稿は、執筆時点ではここで完結する予定だった（実際にはこの直後、本稿1章で2,000例を検証したCKWモノガミー不等式が量子ビットに限った定理であり、3準位系では反例をもって破れることが分かって、連載は再開する。第4稿参照）。

参考文献

• V. Coffman, J. Kundu, W. K. Wootters, Phys. Rev. A 61 (2000) 052306：モノガミー（CKW）不等式。
• A. K. Ekert, Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 661：もつれベースの量子鍵配送（E91）。
• C. H. Bennett, G. Brassard, Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing, Proc. IEEE Int. Conf. on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore (1984) 175：BB84（もつれを使わない prepare-and-measure 方式）。
• S. Popescu, D. Rohrlich, Found. Phys. 24 (1994) 379：PRボックス。
• M. Pawłowski, T. Paterek, D. Kaszlikowski, V. Scarani, A. Winter, M. Żukowski, Information causality as a physical principle, Nature 461 (2009) 1101：情報因果律。
• B. S. Tsirelson, Lett. Math. Phys. 4 (1980) 93。
• W. H. Zurek, Rev. Mod. Phys. 75 (2003) 715：デコヒーレンスと測定問題のレビュー。
• W. Dür, G. Vidal, J. I. Cirac, Phys. Rev. A 62 (2000) 062314：GHZ/W状態の分類。
• 前シリーズ「発散情報保存理論」第7部第9章：「情報は動かない、地平が動く」。