重力は深さ2に書けるか —— BMV実験という的 —

重力は深さ2に書けるか —— BMV実験という的

—— 量子もつれ攻略ノート（5）——

本稿の位置づけ
前稿は理論の内部監査（モノガミーの通貨問題）だった。本稿は外へ出る。棚卸しで挙げた謎のうち、実験の手が届きつつある唯一の的——重力はもつれを作れるか——を扱う。
この問いが重い理由：物理学の未解決問題の筆頭「重力は量子か」に、加速器も宇宙観測も使わず、卓上実験で最初の答えを出せる可能性があるからである。しかも判定のロジックは、本シリーズが第1〜3稿で組み立てた道具（no-signaling・LOCC・もつれ検証）そのものでできている。攻略ノートとして、理論部分を全部自分の手で計算し直す。

1. 論法：もつれは古典チャネルでは作れない

1.1 LOCC定理

量子情報理論の基礎定理から始める：

定理（LOCCはもつれを作れない）　局所操作と古典通信（LOCC: Local Operations and Classical Communication）だけでは、分離可能な状態からもつれた状態は作れない。

直観は帳簿である：もつれ＝深さ2の量子相関は、第2稿で見たとおり古典相関（1ビット）より真に強い（2ビット・ $22 > 2$ ）。古典チャネルが運べるのは定義により古典相関までであり、深さ2の倉庫に量子の2ビット目を書き込めない。

1.2 転回：これを重力の検査に使う

Bose ら [Bose et al. 2017] と Marletto–Vedral [Marletto–Vedral 2017] の転回は鮮やかだった：

二つの質量を、それぞれ位置の重ね合わせに置く（各質量が量子ビットになる：左＝ $∣ L ⟩$ 、右＝ $∣ R ⟩$ ）。
二つの質量の間に働く相互作用が重力だけになるよう設計する。
もし重力が「古典的な媒介」（測定して古典情報を送り返す類のチャネル）なら、LOCC定理により二つの質量は決してもつれない。
ゆえに、もつれが検出されたら、重力は古典チャネルではない——重力は量子情報（深さ2の書き込み）を運べる。

本シリーズの言葉で言えば、この実験は自然への一問である——重力というペンは、深さ2に書けるか。

Feynmanが1957年のChapel Hill会議で夢想した「重ね合わせた質量の重力」の問い [DeWitt–Rickles 2011 に記録] が、60年を経て具体的な実験設計になった。

2. 理論計算：もつれはどれだけ生成されるか

2.1 セットアップと位相

各質量 $m$ を距離 $Δ x$ だけ離れた2経路の重ね合わせにし、時間 $t$ だけ隣に並べて飛ばす（中心間距離 $d$ ）。4つの分岐 $∣ LL ⟩, ∣ L R ⟩, ∣ R L ⟩, ∣ R R ⟩$ はそれぞれ異なる距離で重力相互作用し、異なる位相 $ϕ_{ij} = \frac{G m ^{2} t}{ℏ d _{ij}}$ を拾う。状態は

∣Ψ ⟩ = \frac{1}{2} i, j \in {L, R} \sum e^{i ϕ_{ij}} ∣ ij ⟩

位相が $ϕ_{ij} = α_{i} + β_{j}$ の形に分解できるなら積状態（もつれなし）。分解できない分——

Δ ϕ = ϕ_{R L} + ϕ_{L R} - ϕ_{LL} - ϕ_{R R}

——だけが、もつれとして残る。

2.2 数値：現実的パラメータで計算する

Boseらの提案パラメータ（質量 $m = 1 0^{- 14}$ kg（ $1 0^{12}$ 原子程度のダイヤモンド微粒子）、 $d = 450 μ$ m、 $Δ x = 250 μ$ m、自由落下 $t = 2.5$ s）で全部計算した：

\frac{G m ^{2} t}{ℏ} = 1.582 \times 1 0^{- 4} m, Δ ϕ = \frac{G m ^{2} t}{ℏ} (\frac{1}{d - Δ x} + \frac{1}{d + Δ x} - \frac{2}{d}) = 0.313912 rad

生成されるもつれ（concurrence）は2通りで計算して照合した：

計算法	値
状態から直接 $C = 2 ∣ a d - b c ∣$	$0.156312$
理論式 $∣ sin (Δ ϕ /2)∣$	$0.156312$

さらに、このもつれがベルテストに掛かるかを、これも独立2手法で：

計算法	最大CHSH
Horodecki判定（相関行列の特異値、 $2 t_{1}^{2} + t_{2}^{2}$ ）[Horodecki³ 1995]	$2.024286$
Gisinの公式 $2 1 + C^{2}$ [Gisin 1991]	$2.024286$

$2.024 > 2$ ：ベル違反可能な量のもつれが、たった2.5秒の重力相互作用で生成される。 実際の実験ではベルテストより緩い「もつれ証人（witness）」で十分であり、 $C \approx 0.16$ は原理的に十分検出圏内である。

2.3 感度：どこを頑張ると効くか

Δ ϕ \propto m^{2} t

パラメータ	$Δ ϕ$ [rad]	$C$
$m = 1 0^{- 15}$ kg, $t = 2.5$ s	$0.0031$	$0.0016$
$m = 1 0^{- 14}$ kg, $t = 2.5$ s	$0.3139$	$0.1563$
$m = 1 0^{- 14}$ kg, $t = 5.0$ s	$0.6278$	$0.3088$
$m = 5 \times 1 0^{- 14}$ kg, $t = 2.5$ s	$7.85$	$0.7049$

質量が1桁軽いと位相は2桁落ちる（ $m^{2}$ ）——質量こそが主戦場である。一方で質量を上げるほど重ね合わせの維持（デコヒーレンス対策）が桁違いに難しくなる。この綱引きが、実験が「提案から10年近く経ってもまだ実現していない」理由そのものだ。

3. 難所と抜け穴：正直な監査

理論は上の通り堅い。難所はすべて実装側にある：

巨視的重ね合わせの維持。 $1 0^{- 14}$ kg の物体を250 μm 離れた2箇所の重ね合わせに2.5秒置く——現在の記録（分子レベルの干渉 [Fein et al. 2019]、浮上ナノ粒子の基底状態冷却 [Delić et al. 2020]）から、なお数桁の前進が要る。残留ガス・黒体輻射・重力勾配ノイズとの戦い。
Casimir力の排除。重力以外の相互作用が混ざると論法が崩れる。 $d \geq 200 μ$ m という設計はCasimir力を重力より小さく抑えるための下限であり、導体シールドを挟む改良案もある [van de Kamp et al. 2020]。
論法側の抜け穴。「もつれ検出＝重力の量子化の証明」への反論も検討されている：LOCC論法が排除するのは「局所的古典媒介」であり、非局所的な古典理論までは殺せない、位相は近接場のポテンシャルであり重力子（放射）の証拠ではない、等 [議論の整理として Kafri–Taylor–Milburn 2014; Galley–Giacomini–Selby 2022]。実験成功時に主張できるのは正確には「重力は古典チャネルとして振る舞わない」であり、それでも十分に歴史的である。

なお「質量同士の重力を測る」だけなら、mm級の金球（90 mg）間の重力測定が2021年に達成済み [Westphal et al. 2021]——古典重力の測定技術は指数的に小型化しており、量子側との合流点にBMVがある。

4. まとめと、この的の価値

部品	状態
LOCC定理（古典チャネルはもつれを作れない）	定理
もつれ検出 ⟹ 重力は古典チャネルでない、の論法	確立（抜け穴の限定は明示済み）
$Δ ϕ = 0.314$ rad、 $C = 0.156$ 、CHSH $= 2.024 > 2$ （2手法一致）	本稿で検証済み
感度則 $Δ ϕ \propto m^{2} t$ と主戦場の特定	本稿で計算
実験の実現	未達成（進行中の国際競争）

第1稿で「測定は何も送らない」を、第2稿で「もつれは古典相関より真に強い」を確立した。本稿の的はその応用問題である——その「真に強い相関」を書き込むペンとして、重力は使えるのか。 使えたなら、重力が量子情報を運ぶ最初の証拠であり、量子重力理論への実験的な第一歩になる。棚卸しで「解決できたらノーベル賞級」と書いた理由がこれである（実験家たちの的であって当ノートが解ける的ではないが、理論の帳簿を自分の手で検算しておくことには価値がある——検算した者だけが、結果が出た朝に数字の意味を即座に読める）。

シリーズの次の的は、棚卸しの残り——NPT束縛もつれ（数値実験で遊べる最古の未解決）——が有力候補である。

参考文献

S. Bose, A. Mazumdar, G. W. Morley, H. Ulbricht, M. Toroš, M. Paternostro, A. Geraci, P. Barker, M. S. Kim, G. Milburn, Spin entanglement witness for quantum gravity, Phys. Rev. Lett. 119 (2017) 240401。
C. Marletto, V. Vedral, Gravitationally induced entanglement between two massive particles is sufficient evidence of quantum effects in gravity, Phys. Rev. Lett. 119 (2017) 240402。
D. Kafri, J. M. Taylor, G. J. Milburn, A classical channel model for gravitational decoherence, New J. Phys. 16 (2014) 065020：古典チャネル重力の定式化。
T. D. Galley, F. Giacomini, J. H. Selby, Quantum 6 (2022) 779：論法の前提の精密化。
R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, Phys. Lett. A 200 (1995) 340：CHSH最大値の判定式。
N. Gisin, Phys. Lett. A 154 (1991) 201：純状態のベル違反。
T. Westphal, H. Hepach, J. Pfaff, M. Aspelmeyer, Measurement of gravitational coupling between millimetre-sized masses, Nature 591 (2021) 225。
Y. Y. Fein et al., Nat. Phys. 15 (2019) 1242：25 kDa分子の干渉。U. Delić et al., Science 367 (2020) 892：浮上ナノ粒子の運動基底状態冷却。
T. W. van de Kamp, R. J. Marshman, S. Bose, A. Mazumdar, Phys. Rev. A 102 (2020) 062807：Casimir遮蔽つき設計。
C. DeWitt, D. Rickles (eds.), The Role of Gravitation in Physics: Report from the 1957 Chapel Hill Conference：Feynmanの原初の問い。