二つの定理と橋の補題 —— 量子もつれ攻略ノート（7）

本稿の位置づけ
前稿で、任意の混合3量子ビット状態で $N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2} \leq N_{A (B C)}^{2}$ が成り立つという予想M3'の旗を立てた。旗を立てたら次は、発表の前に証明を狙う。予想のまま出すのと定理として出すのでは格が違うからだ。
結果を先に言う：完全証明には届かなかった。しかし得られたものはある。道中で証明できたものを3つ（橋の補題・定理1・定理2）固め、証明できていない部分の正確な形を特定した。研究の中間報告として、証明・数値・残る隙間をすべて開示する。

1. 舞台装置：変分構造

$ρ$ を3量子ビットの任意の混合状態、 $X = ρ^{T_{A}}$ （ $A$ 側の部分転置）とする。記号を固定する：

a = N_{A B}, b = N_{A C}, n = N_{A (B C)} = Tr X^{-}

ここで $X^{-}$ は $X$ の負の部分、すなわち負の固有値だけを取り出して符号を反転させた非負の演算子である（正の部分は $X^{+}$ と書く）。 $n$ はその負の部分の総質量にあたる。

鍵になるのは、2量子ビット状態の部分転置は負固有値を高々1個しか持たないという既知の事実である [Sanpera–Tarrach–Vidal 1998]（当方でも3,000例で多重負固有値ゼロを確認）。したがって $a$ は $Tr_{C} X$ の唯一の負固有値の絶対値であり、固有ベクトル $v \in A B$ を使って

a = - Tr [X (V ∣ v ⟩ ⟨ v ∣_{A B} \otimes I_{C})], b = - Tr [X (W ∣ w ⟩ ⟨ w ∣_{A C} \otimes I_{B})]

と厳密に等号で書ける。 $V, W$ は8次元空間の階数2の射影であり、 $n$ は任意の「切り出し」を支配する（ $n \geq - Tr [X R]$ 、 $R$ は任意の $0 \leq R \leq I$ ）。つまり、同じ演算子 $X$ から2枚の特殊な形の射影がそれぞれどれだけ負の質量を切り出せるか、という幾何の問題である。

2. 橋の補題（証明済み・2行）

補題（負固有値ともつれの橋）　 $ρ \geq 0$ を任意の $2 \otimes N$ 状態、 $λ < 0$ を $ρ^{T_{A}}$ の負固有値、 $Ω$ をその固有ベクトルとする。このとき $∣ λ ∣ \leq \frac{κ ( Ω )}{2} \leq \frac{1}{2}$ （ $κ (Ω)$ は固有ベクトル $Ω$ の $A ∣$ 残りのもつれ＝concurrence）。
証明　 $λ = ⟨ Ω∣ ρ^{T_{A}} ∣Ω ⟩ = Tr [ρ (∣Ω ⟩ ⟨ Ω∣)^{T_{A}}]$ 。純状態射影の部分転置の固有値はSchmidt係数 $(μ_{0}, μ_{1})$ から ${μ_{0}, μ_{1}, \pm μ_{0} μ_{1}}$ と求まり、最小値は $- μ_{0} μ_{1} = - κ (Ω) /2$ 。 $ρ$ は状態だから $Tr [ρM] \geq λ_{m i n} (M)$ 。 $■$

数値検証：ランダム2量子ビット3,000例で $max (∣ λ ∣ - κ (Ω) /2) = - 0.0016 \leq 0$ 、Bell状態で等号（ $∣ λ ∣ = 1/2 = κ /2$ ）。負性は「負固有ベクトル自身のもつれ」によって上から抑えられる。部分転置の負の深さは、必ずもつれに由来する。（純状態射影の部分転置のスペクトルは標準的な計算なので、この補題自体はfolkloreの可能性が高い。）

3. 定理1：√2係数モノガミーは無条件に成立（証明済み）

定理1　任意の混合3量子ビット状態で $max (N_{A B}, N_{A C}) \leq N_{A (B C)} したがって N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2} \leq 2 N_{A (B C)}^{2} .$
証明　部分トレースは部分転置と可換（前稿の補題）かつCPTP写像であり、トレースノルムはCPTPで縮小する： $∥ Tr_{C} (ρ^{T_{A}}) ∥_{1} \leq ∥ ρ^{T_{A}} ∥_{1}$ 。 $N = (∥ \cdot ∥_{1} - 1) /2$ に代入して個別支配。二乗和は $2 n^{2}$ 以下。 $■$

数値確認：1,500例で個別支配の破れゼロ。M3'（係数1）と定理1（係数2）の間が、埋めるべき隙間である。なお二乗和での係数2は、平方根をとればノルムでの√2にあたる。以下ではこの定理を「√2定理」とも呼ぶ。個別支配自体はfolkloreだが、「予想M3'は係数を2から1に下げる問題」という定式化が得られた。

4. 定理2：問題は2枚の射影の角度に還元される（証明済み）

$V, W$ の値域のなす最小主角度（第1主角度 $θ_{1}$ ）の余弦を $c = cos θ_{1} \in [0, 1]$ とする（ $c = 0$ ：完全直交、 $c = 1$ ：共有方向あり）。任意の $α, β \geq 0$ で

α a + β b = - Tr [X (α V + β W)] \leq Tr [X^{-} (α V + β W)] \leq n ∥ α V + β W ∥

2つの射影の重みつき和のノルムはJordanの2部分空間分解（CS分解）から $\frac{α + β}{2} + \frac{1}{2} (α - β)^{2} + 4 α β c^{2}$ で抑えられる。 $(α, β) \propto (a, b)$ と選ぶと：

定理2（角度つき評価） $a^{2} + b^{2} \leq n \cdot \frac{1 + c}{2} .$ 系　 $c \leq 2 - 1 \approx 0.414$ ならば予想M3'は成立する。 $c = 0$ ではさらに強く $a^{2} + b^{2} \leq n max (a, b)$ 。

数値検証：両負性が正の800例すべてで定理2成立（最大残差 $- 0.075$ 、破れなし）。

正直な但し書き：同じ800例で $c \leq 2 - 1$ に落ちた例は0件だった。生成的な状態では、2枚のスライス（射影 $V$ と $W$ ）は常にかなり整列している（どちらも $A$ を共有しているため）。つまり定理2が単独でM3'を閉じる領域は、現実には薄い。

それでも収穫は大きい。残る隙間が「 $c > 2 - 1$ の整列領域で、 $ρ \geq 0$ の正値性（橋の補題の構造）を使って係数を下げる」という一点に絞られたからである。その領域の実測値は $a^{2} + b^{2} / n \leq 0.891$ （ランダム）、 $0.994$ （敵対的最適化・前稿。比 $r = (a^{2} + b^{2}) / n^{2}$ で $0.988$ に達した点の平方根）で、理論値1にはまだ余白がある。

5. 等号解析：予想はタイトである

単一ペア退化状態（もつれが一方のペアに全部乗り、残る1体は無関係な純状態） $ρ = Φ_{A C}^{+} \otimes ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣_{B}$ で検算すると

(a, b, n) = (0, 0.5, 0.5) a^{2} + b^{2} - n^{2} = 0.00 \times 1 0^{0} (厳密に等号)

M3'は破れないギリギリの不等式である（係数1を1未満には下げられない）。比率 $r = (a^{2} + b^{2}) / n^{2}$ の最適化が0.988まで迫った（前稿）のは、この等号多様体への接近だった。精密化した予想を記録する：

予想M3'（精密版）　 $N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2} \leq N_{A (B C)}^{2}$ 、等号は $min (N_{A B}, N_{A C}) = 0$ かつ $max = N_{A (B C)}$ のとき（単一ペア型）に限る。

6. 現在地の総括

項目	状態
橋の補題 $∣ λ ∣ \leq κ (Ω) /2$	証明済み（2行）＋3,000例（folkloreの可能性）
定理1（√2係数・無条件）	証明済み＋1,500例
定理2（角度つき評価・ $c \leq 2 - 1$ で完全証明）	証明済み＋800例
等号ケース（単一ペア退化で厳密飽和）	確定
M3'本体（係数1・全域）	未証明。隙間＝整列領域 $c > 2 - 1$ での正値性の活用
反例	前稿の9つの探索領域＋本稿の比率による探索で発見されず（内部最大 $r = 0.988 < 1$ ）

次の一手（隙間を埋める候補）：(i) 落としたスラック $Tr [X^{+} (α V + β W)]$ の下界を $c$ で縛る。整列した射影は $X^{+}$ とも重ならざるを得ない、という排他性の定量化である。(ii) 橋の補題を $v, w, Ω$ の三者関係（固有ベクトルどうしのCKW型制約）に拡張する。(iii) 等号多様体の近傍での摂動解析。

7. 「発表」の現時点での価値

正直な査定：M3'は予想＋部分定理群として出せる状態になった。定理1と橋の補題はおそらくfolklore、定理2の「スライス角への還元」はこの問題設定に固有の道具立てで、新規の可能性がある（保証はできない。前稿の但し書きは常に有効）。世界を変える結果ではないが、「調査済みの空白に、証明つきの部分結果と精密な予想を置く」という、研究として恥ずかしくない形にはなった。完全証明が取れたら、そのときが発表のときである。

参考文献

A. Sanpera, R. Tarrach, G. Vidal, Local description of quantum inseparability, Phys. Rev. A 58 (1998) 826：2量子ビットPTの負固有値は高々1個。
H. He, G. Vidal, Phys. Rev. A 91 (2015) 012339：純状態版の予想（前稿参照）。
Y.-C. Ou, H. Fan, Phys. Rev. A 75 (2007) 062308：純3量子ビットの定理。
G. Vidal, R. F. Werner, Phys. Rev. A 65 (2002) 032314：負性。
C. Jordan (1875)；A. Björck, G. Golub, Math. Comp. 27 (1973) 579：2部分空間の主角度とCS分解。
検証コード：橋の補題3,000例・定理1で1,500例・定理2で800例・等号検算。すべて素のPython（Jacobi固有値法＋逆反復固有ベクトル）、乱数種つきで再現可能。