九つの探索領域で反例は出なかった —— 量子もつれ攻略ノート（6）

本稿の位置づけ
第4稿の訂正で学んだことがある。新規性の主張は、文献を調べてから立てなければならない。そこで本稿は、新規性の検証を最初から手順に組み込んだ研究をやる。手順：(1) 対象を決める（負性二乗モノガミーの反例探索）、(2) 本気で探す（9つの探索領域）、(3) 反例の有無にかかわらず文献と突き合わせて、何が既知・何が再発見・何が新規候補かを一覧に整理する。前稿の末尾では次の候補にNPT束縛もつれを挙げたが、順序を入れ替え、第4稿の後始末から入る。
その訂正である。第4稿で「予想M3」として出した qutrit の負性モノガミーは、文献調査の結果、He と Vidal が2014年に同じ数値実験つきで提出済みの予想だった [He–Vidal 2014]。彼らは qutrit・ququart の純状態を数百例＋飽和線近傍を集中的に調べるサンプリングで検証し、「任意の三体系で成り立つ」と予想している。私たちは10年遅れの独立再発見をしたことになる。新規性はゼロだが、独立に同じ予想に到達したことは方法の健全性の証拠ではある。第4稿は訂正済み。

1. 探索対象の設定

探索の対象は負性二乗モノガミー：

N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2} \leq N_{A (B C)}^{2}

ギャップ $g = N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2} - N_{A (B C)}^{2}$ を定義し、 $g > 0$ となる状態（反例）を探す。現在の文献状況（本稿5節で詳述）：純3-qubitは定理 [Ou–Fan 2007]、純・任意次元は予想 [He–Vidal 2014]、混合状態は空白。反例が1つ出れば、それがどの区画で出たかに応じて定理か予想が否定される。どちらでも本物の新結果である。

反例が出なければ出ないで、残るものはある。どの区画をどこまで探して出なかったのか、そして最後まで出ない理由に構造的な説明がつくのか。この二つが書ければ、予想をどこまで信じてよいかの記録になる。以下は、その記録である。

2. 九つの探索領域の報告

#	探索領域	規模	最大ギャップ	結果
1	純 3-qutrit ランダム	1,200例	$- 0.344$	生存
2	純 3-qutrit 山登り最適化	12リスタート×150歩	$- 0.266$	生存
3	純 4⊗4⊗4 ランダム	60例	$- 1.331$	生存
4	純 4-qubit（4体版）＋W₄・Dicke	3,000例	$- 0.049$	生存
5	混合 3-qubit（ランク2/3/4）	各1,200例	$- 0.003$	生存
6	混合 3-qubit 山登り最適化	20リスタート×250歩	$- 0.00214$	生存
7	GHZ/W混合・白色雑音入りW スキャン	22点	$0.000$ （境界）	生存
8	Bell対混合の族 $ρ (p) = p Φ_{A B}^{+} \otimes ∣0 ⟩_{C} + (1 - p) Φ_{A C}^{+} \otimes ∣0 ⟩_{B}$	19点	$- 0.012$	生存
9	族8＋局所ひねり＋最適化	15リスタート×300歩	$- 0.00084$	生存

探索領域8と9は、反例が出るとすればここだろうという敵対的（adversarial）な族への集中探索である。「AがBと強く相関する枝」と「AがCと強く相関する枝」の古典混合は、配分制限に最も強い圧力をかける形であり、モノガミー系の反例はしばしばこの型から出る。それでも $g < 0$ のままだった。最適化（探索領域6・9）はギャップを3桁縮めたが、0を越えない。

3. 漸近の正体：境界の安全性（2行の補題）

$- 0.00084$ まで迫ったのだから、もっと押せば越えるのではないか。越えない理由が構造的に特定できた。

補題（境界の安全性）　 $N_{A (B C)} = 0$ （ $A ∣ B C$ 分割で PPT）ならば $N_{A B} = N_{A C} = 0$ 。
証明　部分トレースは部分転置と可換： $Tr_{C} (ρ^{T_{A}}) = (Tr_{C} ρ)^{T_{A}}$ 。正値作用素の部分トレースは正値なので、 $ρ^{T_{A}} \geq 0$ なら $(ρ_{A B})^{T_{A}} \geq 0$ 。 $■$

つまり右辺が消える場所では左辺も必ず消え、ギャップ0の境界は「全員ゼロ」の自明な稜線である。最適化のログを見ると、ギャップが0に迫る点はすべて全負性が同時に小さくなる方向にある。最適化はこの自明な稜線に吸い寄せられているだけで、内部（負性が有限のまま $g > 0$ に抜ける経路）の兆候は9つの探索領域のどこにもなかった。

4. 構造ノート：Ouの反例は次元を上げても強くならない

第4稿のタングル破れ（完全反対称状態）を高次元化しようとして、逆向きの事実に当たった。1粒子の次元を $d = 4$ に上げた3粒子完全反対称状態を作って計算すると、 $N_{A B} = 1/3$ 、 $N_{A (B C)} = 1$ と、 $d = 3$ と完全に同じ数が出る。

理由は多重線形代数の初等事実である： $Λ^{3} (C^{4})$ （4次元空間の3-形式）の元はすべて分解可能 $e_{x} \land e_{y} \land e_{z}$ 。つまり「 $d = 4$ の3粒子完全反対称状態」は、回転した基底で見ればすべて $d = 3$ の反対称状態の埋め込みにすぎない。一般に $n$ 次元の $(n - 1)$ -形式は常に分解可能なので、3粒子の反対称反例は $d$ をいくら上げても $d = 3$ の一枚岩であり、タングル破れの幅 $2/3$ は増えない。破れを強くしたければ粒子数側を上げるしかない（ $Λ^{3} (C^{6})$ には非分解元がある。次の対象の候補）。

5. 新規性の検証：結果の一覧

今回の結果を、文献と突き合わせて区画ごとに査定する（一次資料：[He–Vidal 2014]（本文まで精読）、[Ou–Fan 2007]、2022年のモノガミー総説 [Guo–Zhang 2022 系のレビュー、Frontiers in Physics 10 (2022) 880560]、多準位CREN [Sci. Rep. 6 (2016) 36700]）：

区画	文献の状態	当ノートの結果	査定
純 3-qubit	定理（Ou–Fan 2007）	—	既知
純任意次元	予想（He–Vidal 2014、qutrit/ququart数値つき）	探索領域1–3で無傷	独立再発見・再確認（新規性なし）
4体（純qubit）	He–Vidal が4-qubitで数値確認	探索領域4で無傷＋W₄/Dicke追加	ほぼ既知の再確認
混合 3-qubit	2022年レビューに記載なし（素の負性 $N$ での定理も反例も見つからず。CRENなら結果がある——下記）	探索領域5–9：4,800例＋最適化2系統＋敵対的な族で無傷、境界補題つき	新規候補

表の読み方（測度の区別）　この表で「空白」と言っているのは、素の負性 $N$ についてである。凸屋根拡張負性（CREN）なら、混合を含む多体qubit系のモノガミー関係がすでに示されている [Kim–Das–Sanders 2009; Sci. Rep. 6 (2016) 36700]。CRENは $N$ の凸屋根であり、純状態では $N$ と一致するが混合状態では一般に $N$ より大きい別の測度なので、その結果は $N$ の空白を埋めない。第4稿3.2節が並べて引いている Kim–Das–Sanders は、こちら側の結果である。

新規候補を、正式な形で提出する：

予想M3'（混合状態モノガミー）　任意の（純とは限らない）3量子ビット状態 $ρ_{A B C}$ で $N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2} \leq N_{A (B C)}^{2} .$ 証拠：ランダム混合状態4,800例（ランク2–4）・敵対的な族・山登り最適化2系統で反例なし。ギャップの上限への接近は自明境界（補題）への吸着として説明される。

新規性についての正直な但し書き：私たちが調べられたのは主要レビューと一次論文数本であり、文献の網羅は原理的に不可能である。この予想が過去に（別の名前・別の記法で）出ている可能性は常に残る。それでも第4稿との違いは、調査してから旗を立てたことだ。旗の立て方の規律——(1) 一次資料まで読む、(2) 区画表で既知と新規を分離する、(3) 但し書きを消さない——それ自体が、本稿がシリーズに残す最大の成果かもしれない。

6. 次の対象

予想M3'の証明：含意関係を先に整理しておく。M3'は3量子ビットの混合状態についての主張であり、その純状態版はすでに定理（Ou–Fan 2007）である。He–Vidal予想は「純・任意次元」の主張なので、次元も状態の範囲も違い、M3'を含意しない。したがって「純が開いているから混合も難しい」とは言えない。難しさの根拠は別のところにある。5節の区画表のとおり、この区画には定理も反例も見当たらず、写せる手本がない。3節の補題も自明境界の説明どまりで、内部（負性が有限のまま等号に迫る領域）には届かない。一方で混合qubit系は道具が豊富（Wootters公式・PPT判定の完全性 [Horodecki³ 1996]）で、凸屋根を経由しない直接証明の可能性がある。本物の新定理になりうる対象である。
$Λ^{3} (C^{6})$ の非分解反対称状態：4節の帰結として、タングル破れがより強くなる最小の舞台。ここでの負性の値は誰も計算していない可能性がある。
He–Vidal予想そのもの：飽和線（等号達成状態）の構造の解明から取り組む。

参考文献

H. He, G. Vidal, Disentangling theorem and monogamy for entanglement negativity, Phys. Rev. A 91 (2015) 012339；arXiv:1401.5843：純・任意次元のモノガミー予想の原典（本稿で本文精読）。
Y.-C. Ou, H. Fan, Monogamy inequality in terms of negativity for three-qubit states, Phys. Rev. A 75 (2007) 062308：純3-qubitの定理。
Y.-C. Ou, Phys. Rev. A 75 (2007) 034305：タングルの高次元破れ（第4稿）。
V. Coffman, J. Kundu, W. K. Wootters, Phys. Rev. A 61 (2000) 052306。
Monogamy of Quantum Entanglement（総説）, Frontiers in Physics 10 (2022) 880560；arXiv:2201.00366：混合状態版の記載なしを確認した参照先。
J. S. Kim, A. Das, B. C. Sanders, Entanglement monogamy of multipartite higher-dimensional quantum systems using convex-roof extended negativity, Phys. Rev. A 79 (2009) 012329；Generalised monogamy relation of convex-roof extended negativity in multi-level systems, Sci. Rep. 6 (2016) 36700：いずれもCREN（素の負性とは別測度）でのモノガミー。
M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223 (1996) 1：2⊗2・2⊗3でのPPT判定の完全性。
検証コード：本稿の全計算は素のPython（Jacobi固有値法・外部ライブラリなし）で、乱数種つきで再現可能。