帳簿は次元を上げると破れる —— モノガミーの通貨問題 —

帳簿は次元を上げると破れる —— モノガミーの通貨問題

—— 量子もつれ攻略ノート（4）——

本稿の位置づけ
第3稿で「結」と書いたが、続きができた。未解決の謎の棚卸しをしたところ、攻略に使った道具の一つ——モノガミー（相関の配分制）——自体に、足元の未解決問題が埋まっていることがわかったからである。第3稿で2,000例検証したCKW不等式は、実は量子ビット（2準位系）限定の定理であり、次元を上げると破れることが知られている。破れるならば、第3稿で「相関は資源である」と言った根拠が揺らぐ——どの測り方（通貨）なら、配分の帳簿は次元によらず合うのか。これが本稿の的である。前シリーズの流儀で言えば、帳簿の破れは失敗ではなく、正しい通貨を教えてくれる測定器だ。

1. 前提の復習と、問題の正確な形

第3稿のCKW不等式 [Coffman–Kundu–Wootters 2000; n量子ビットへの拡張は Osborne–Verstraete 2006]：

τ_{A B} + τ_{A C} \leq τ_{A (B C)}

通貨はタングル $τ = C^{2}$ （concurrenceの二乗）。量子ビットでは定理であり、第3稿でランダム2,000例が全て通ることを確認した。問題は：粒子が3準位（qutrit）以上になっても、この帳簿は合うのか？

2. 破れの現場検証：完全反対称状態

2.1 容疑者

Ou（2007）が指摘した反例を、当ノートの環境（素のPython・27次元）で完全再現する。容疑者は3つのqutritの完全反対称状態：

∣ ψ ⟩ = \frac{1}{6} i, j, k \sum ε_{ij k} ∣ ij k ⟩

（ $ε$ は添字の並べ替えで符号が変わるテンソル。3粒子版の「シングレット」であり、どの2粒子を入れ替えても符号が反転するだけの、最高に対称的な——正確には反対称的な——状態である。）

2.2 検証1：部分空間の異常な均質性

まず $τ_{A B}$ の計算に必要な事実を検証する。この状態の2粒子縮約 $ρ_{A B}$ は、2-qutrit空間（9次元）の中の反対称部分空間（3次元）に台をもつ。この部分空間からランダムに3,000個の純状態を引いて $C^{2}$ を計算した：

min C^{2} = 1.0000000000, max C^{2} = 1.0000000000

全点で厳密に1。ばらつきが10桁ゼロなのは偶然ではなく幾何学である：3次元空間の反対称2形式はすべて $e_{x} \land e_{y}$ の形に分解できる（外積代数の初等事実）ので、この部分空間の住人は全員が「2次元分だけ最大にもつれた状態」の化粧違いなのだ。この均質性から、混合状態のconcurrence（凸屋根＝あらゆる分解の平均の最小値）が挟み撃ちで厳密に確定する：どう分解しても平均は1以上（全点が1）、基底分解で1が達成——ゆえに $C_{A B} = 1$ 。

2.3 検証2：帳簿の破れ

τ_{A (B C)} = 2 (1 - tr ρ_{A}^{2}) = 1.3333333333 = \frac{4}{3}

（ $ρ_{A} = I /3$ の直接計算）。一方 $τ_{A B} = τ_{A C} = 1$ （検証1）なので：

τ_{A B} + τ_{A C} = 2 > \frac{4}{3} = τ_{A (B C)} 破れ幅 = \frac{2}{3}

qubitの定理はqutritで反例をもつ。 帳簿の言葉で言えば：Aの持つ「配当可能総額」は4/3しかないのに、BとCへ1ずつ、合計2が配られている。タングルという通貨は、高次元では二重計上を起こす。

2.4 なぜ破れるのか

破れの源は検証1の均質性そのものである。qubitでは「BともCとも同時に強くもつれる」ことを状態空間の狭さが禁じるが、qutritの反対称状態は同じ相関の自由度をBとCで共有できる——完全に対称な構造のため、AB間の相関とAC間の相関が「同じ1枚の記録の二つの窓」になっている。タングルはこの共有を検出できず、窓ごとに満額を計上してしまう。

3. 通貨問題：どの測度なら帳簿が合うか

3.1 負性（negativity）で付け直す

同じOu状態を、計算可能な別の通貨——負性 $N$ （部分転置の負固有値の合計。凸屋根不要で直接計算できる）——で監査した：

量	値
$ρ_{A B}$ の部分転置の固有値	${- \frac{1}{3}, \frac{1}{6} \times 8}$ （数値で6桁一致）
$N_{A B} = N_{A C}$	$0.3333333333$
$N_{A (B C)}$	$1.0000000000$
$N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2}$ vs $N_{A (B C)}^{2}$	$0.2222 \leq 1$ 　成立

タングルで破れた状態が、負性では余裕で帳簿内に収まる。負性はAB窓とAC窓の「共有」を正しく割り引いている（ $1$ ではなく $\frac{1}{3}$ と査定）。

3.2 統計監査

ランダムな3-qutrit純状態1,200例で $N_{A B}^{2} + N_{A C}^{2} - N_{A (B C)}^{2}$ の最大値を調べた：

max = - 0.344 < 0 (反例ゼロ)

qubitでは負性二乗のモノガミーが定理として知られている [Ou–Fan 2007; Kim–Das–Sanders 2009]。

【訂正・新規性監査】　本稿の初版はこの数値結果を「予想M3」として新規に提示したが、公開後の文献調査により、多準位系での負性系モノガミーはすでに活発に研究されている領域だと判明した——凸屋根拡張負性（CREN）の一般化モノガミー関係 [Sci. Rep. 6 (2016) 36700]、負性の多項式モノガミー関係 [arXiv:1502.04807] 等。したがって当ノートの1,200例は既知領域の独立な数値再確認に格下げする。研究ノートの規律として、新規性の主張は事前の文献調査なしに行ってはならない——この教訓自体を帳簿に残す。

3.3 通貨問題の構造：無いものねだりの定理

「では万能の通貨を探せばよい」と思いたくなるが、ここに構造的な壁があることが知られている。Lancienら（2016）の定理 [Lancien et al. 2016]：すべてのもつれ状態に非零の値をつける（忠実な）加法的測度は、全次元で普遍的なCKW型モノガミーを満たせない。しかも証明の主役は、まさに本稿の反対称状態の族である。

つまり通貨問題の答えは「良い通貨を見つける」ではなく「トレードオフの中で何を諦めるか選ぶ」になる：

タングル：qubitでは完璧。高次元で帳簿破綻（本稿）。
負性：計算可能。qubitで定理、qutritで予想M3（本稿の数値）。ただし束縛もつれ（PPTもつれ）を検出できない＝忠実でない——Lancienの定理と整合する「諦め」を最初から払っている通貨。
スカッシュもつれ：全次元でモノガミー成立が定理 [Koashi–Winter 2004; Christandl–Winter 2004]。ただし計算がほぼ不可能（一つの値を求めるのも未解決級）。

深さの言葉でまとめる：深さ2の相関の「配分制」自体は正しい物理だが、配分を測る普遍的で・忠実で・計算可能な通貨は存在しない（二つまでなら選べる）。第3稿の「相関は資源」という結論は、通貨を明示する限りで生き残る。

4. 本稿の結果一覧

結果	等級
反対称部分空間の全純状態で $C^{2} = 1$ （3,000点・10桁定数）	検証済み＋幾何学的証明
$C_{A B} = 1$ の凸屋根の厳密確定（挟み撃ち）	証明
Ou反例の再現： $2 > \frac{4}{3}$ 、破れ幅 $\frac{2}{3}$	検証済み（Ou 2007の再現）
負性はOu状態で帳簿成立（ $0.222 \leq 1$ ）	検証済み
qutrit負性二乗モノガミー・1,200例反例なし	既知領域の独立再確認（訂正済み・3.2節）
忠実さ×普遍モノガミーの非両立	既知の定理の引用（Lancien et al. 2016）

参考文献

Y.-C. Ou, Violation of monogamy inequality for higher-dimensional objects, Phys. Rev. A 75 (2007) 034305：本稿の反例の原典。
V. Coffman, J. Kundu, W. K. Wootters, Phys. Rev. A 61 (2000) 052306；T. J. Osborne, F. Verstraete, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 220503：CKWとそのn-qubit拡張。
Y.-C. Ou, H. Fan, Phys. Rev. A 75 (2007) 062308；J. S. Kim, A. Das, B. C. Sanders, Phys. Rev. A 79 (2009) 012329：qubitでの負性系モノガミー。
M. Koashi, A. Winter, Phys. Rev. A 69 (2004) 022309；M. Christandl, A. Winter, J. Math. Phys. 45 (2004) 829：スカッシュもつれのモノガミー。
C. Lancien, S. Di Martino, M. Huber, M. Piani, G. Adesso, A. Winter, Should entanglement measures be monogamous or faithful?, Phys. Rev. Lett. 117 (2016) 060501：通貨問題の非両立定理。
G. Vidal, R. F. Werner, Phys. Rev. A 65 (2002) 032314：負性の定義と性質。
多準位系の負性系モノガミー（訂正で参照）：Generalised monogamy relation of convex-roof extended negativity in multi-level systems, Sci. Rep. 6 (2016) 36700；Polynomial monogamy relations for entanglement negativity, arXiv:1502.04807。