ベルの定理と Tsirelson 限界 2√2 —— 量子もつれ攻略ノート（2）

本稿の位置づけ

前稿で疑問を「伝達説A／記録説B」に分解し、Aをno-signaling定理で否定した（機械精度 $10^{-17}$ の数値検証つき）。残るは記録説B、つまり量子もつれは局所隠れ変数（あらかじめ書かれた答えの表。Bellはこれを「Bertlmannの靴下」の比喩で語った [Bell 1981]）と同じかどうか。本稿はこれに白黒をつける。結論を先に言えば、答えの表では説明できない。しかも「どれくらい説明できないか」が、$2\sqrt{2}$ という具体的な数で測れる。

1. ベルの発明：形而上学を不等式に変える

「答えが最初から決まっていたかどうか」は、一見すると実験で確かめようのない形而上学に見える。決まっていた答えを読んでも、決まっていなかった答えがその場で決まっても、出てくる数字は同じではないか？

Bellの天才は、測定の向きを選べることに目をつけた点にある [Bell 1964]。AliceとBobがそれぞれ2通りの測定（Aliceは $a_0,a_1$、Bobは $b_0,b_1$、結果は±1）をランダムに選ぶとき、相関の組み合わせ

（$E$ は結果の積の期待値。CHSH量と呼ぶ [Clauser–Horne–Shimony–Holt 1969]）を考える。

1.1 答えの表があるなら $|S|\le 2$：総当たりで確認

「あらかじめ答えが決まっている」とは、各粒子ペアが4つの値 $A_0,A_1,B_0,B_1\in \{+1,-1\}$（どの向きで測られても出す答え）を持って生まれてくることである。この決定論的戦略は $2^4=16$ 通りしかない。全部試した：

理由は式を組み替えると見える：$A_0(B_0+B_1)+A_1(B_0-B_1)$ と書けて、$B_0+B_1$ と $B_0-B_1$ のどちらかは必ず0になる（二つが同符号なら差が、逆符号なら和が消える）。残る項は高々2である。確率的に混ぜても凸結合なので上限は変わらない。

Bell–CHSH不等式　答えの表（局所隠れ変数）で説明できる相関は、必ず $|S|\le 2$。

1.2 量子は $2\sqrt{2}$ を出す：数値検証

もつれた2粒子の状態のひとつ、シングレット状態 $(|01⟩-|10⟩)/\sqrt{2}$ をとる。測定角 $a$ と $b$ の相関は $E(a,b)=-\cos (a-b)$ になる（検証：$E(0,\pi /4)=-0.7071067812$、理論値と10桁一致）。最適な角度（$a_0=0,a_1=\frac{\pi }{2},b_0=\frac{\pi }{4},b_1=-\frac{\pi }{4}$）を選ぶと：

答えの表では作れない相関である。つまり、深さ2に書き込まれているのは「あらかじめ決まった答えの表」ではない。ただしここまでは量子力学の予言である。自然が本当にそちらを選ぶかは、次項で実験に問い合わせる。

1.3 自然への問い合わせ結果

これは思考実験ではない。実験は繰り返し行われ、常に量子側の予言が実現している：

• Aspectらの実験（1982）[Aspect–Grangier–Roger 1982]：偏光子を高速切替してCHSH違反を確認。
• 抜け穴なし実験（2015）：通信の抜け穴と検出の抜け穴を同時に塞いだ3つの独立実験 [Hensen et al. 2015; Giustina et al. 2015; Shalm et al. 2015] がいずれも違反を確認。
• この一連の業績に2022年のノーベル物理学賞（Aspect, Clauser, Zeilinger）。

自然は $|S|>2$ を出す。局所的な答えの表は、この宇宙の実装ではない。

2. ではなぜ $2\sqrt{2}$ で止まるのか：Tsirelson限界

量子が2を超えるなら、いくらでも超えられるのか？　CHSHの代数的な最大値は4である（4項すべてが±1の極値を取る場合）。ところが量子力学はぴったり $2\sqrt{2}$ で止まる。これはTsirelsonの定理 [Tsirelson 1980] で、鍵は演算子の恒等式

にある（$\mathcal{B}$ はCHSHに対応する演算子、$[\cdot ,\cdot ]$ は交換子＝順序を入れ替えた差）。数値検証：

• 最適測定でのCHSH演算子の固有値：$\{-2\sqrt{2},0,0,+2\sqrt{2}\}$（$\pm 2.8284271247$、厳密に一致）
• 恒等式の残差：$1.8\times 10^{-15}$

読み下すとこうなる。古典（すべてが可換＝交換子ゼロ）なら ${\mathcal{B}}^2=4I$ で、上限は2。量子の超過分は測定順序の非可換性そのものである。

超過分の上限は二段で出る。まず交換子1個。$A_i$ はエルミートで $A_i^2=I$ だから $\Vert A_i\Vert =1$、よって $\Vert [A_0,A_1]\Vert \le 2\Vert A_0\Vert \Vert A_1\Vert =2$（Bob側も同じ）。つぎにテンソル積のノルムは各因子のノルムの積なので、$\Vert [A_0,A_1]\otimes [B_1,B_0]\Vert \le 2\times 2=4$。4になるのは交換子2個を組んだ後であって、交換子1個で4になるのではない。 この4を恒等式に入れて ${\mathcal{B}}^2\le 8I$、すなわち $|S|\le \Vert \mathcal{B}\Vert \le 2\sqrt{2}$ となる。

前シリーズの読者には既視感があるはずだ。前シリーズ第6部第5章で「三つの上限」（カオス限界・量子速度限界・セクター飽和）が「率×解析性の幅≦普遍定数」という同じ型に整理された（指数の水準までで、定数そのものを与える部分は予想の段階である）。Tsirelson限界もまた「非可換性が許す超過の上限」という同型の上限である。

3. 深さで数える：同じ深さ2に、入る情報量が違う

「局所隠れ変数ではない」を、前シリーズの深さの語彙で定量化しておく。2粒子系で深さ2（ペアの相関）に置ける情報量を、量子と古典で比べる：

どちらも「片方だけ見ると完全にランダム、比べると完全に相関」だが、同じ深さ2に、古典は1ビット、量子は2ビット入る。この超過1ビットが「もつれ」の正体を数で表したものであり、しかも実際に使える。もつれた粒子を1個送るだけで古典2ビットを伝える超高密度符号化 [Bennett–Wiesner 1992] は、この容量差をそのまま通信性能に変換したプロトコルである。

まとめると、深さ2に書き込まれているのは答えの表（古典・1ビット）ではなく、どの測定の組に対しても $-\cos (a-b)$ を返す相関関数そのもの（量子・2ビット）である。古典の表では $|S|\le 2$ までしか実現できない強さの相関だ。

4. 残った仕事

Q2（局所隠れ変数か）は「No」で確定した。だが、まだ終わらない：

1. 相関は無限に配れるのか：答えの表なら何部でも複製できる。量子の相関には配分制限（モノガミー）があるはずで、それが「資源」としての実体を与える。
2. なぜ $2\sqrt{2}$ なのか、の一段深い理由：no-signalingだけなら4まで許されることを見る（PRボックス）。自然が $2\sqrt{2}$ を選んだ理由は何か。
3. Q3（では何なのか）への最終解答：ここまでの部品（飛ばない・表でもない・$2\sqrt{2}$ の相関関数）を機構として組み上げる。

次稿（最終稿）でこの三つを、この順で片づける。

5. 本稿の結果一覧

参考文献

• J. S. Bell, Physics 1 (1964) 195：ベルの定理の原論文。
• J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 880：CHSH不等式。
• B. S. Tsirelson, Lett. Math. Phys. 4 (1980) 93：量子上限 $2\sqrt{2}$。
• A. Aspect, P. Grangier, G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 91：初期の決定的実験。
• B. Hensen et al., Nature 526 (2015) 682；M. Giustina et al., PRL 115 (2015) 250401；L. K. Shalm et al., PRL 115 (2015) 250402：抜け穴なしベルテスト。
• C. H. Bennett, S. J. Wiesner, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2881：超高密度符号化。
• M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge UP (2000)。