靴下ではなかった —— ベルの定理と 2√2 の壁 —

靴下ではなかった —— ベルの定理と 2√2 の壁

—— 量子もつれ攻略ノート（2）——

本稿の位置づけ
前稿で疑問を「伝達説A／記録説B」に分解し、Aをno-signaling定理で仕留めた（機械精度 $1 0^{- 17}$ の数値検証つき）。残るは記録説B——量子もつれはBertlmannの靴下（あらかじめ書かれた答えの表）と同じか。本稿はこれに白黒をつける。結論を先に言えば：靴下ではなかった。しかも「どれくらい靴下でないか」が、 $22$ という具体的な数で測れる。

1. ベルの発明：形而上学を不等式に変える

「答えが最初から決まっていたかどうか」は、一見すると実験で確かめようのない形而上学に見える。決まっていた答えを読んでも、決まっていなかった答えがその場で決まっても、出てくる数字は同じではないか？

Bellの天才は、測定の向きを選べることに目をつけた点にある [Bell 1964]。AliceとBobがそれぞれ2通りの測定（Aliceは $a_{0}, a_{1}$ 、Bobは $b_{0}, b_{1}$ 、結果は±1）をランダムに選ぶとき、相関の組み合わせ

S = E (a_{0}, b_{0}) + E (a_{0}, b_{1}) + E (a_{1}, b_{0}) - E (a_{1}, b_{1})

（ $E$ は結果の積の期待値。CHSH量と呼ぶ [Clauser–Horne–Shimony–Holt 1969]）を考える。

1.1 答えの表があるなら $∣ S ∣ \leq 2$ ：総当たりで確認

「あらかじめ答えが決まっている」とは、各粒子ペアが4つの値 $A_{0}, A_{1}, B_{0}, B_{1} \in {+ 1, - 1}$ （どの向きで測られても出す答え）を持って生まれてくることである。この決定論的戦略は $2^{4} = 16$ 通りしかない。全部試した：

16 通り max (A_{0} B_{0} + A_{0} B_{1} + A_{1} B_{0} - A_{1} B_{1}) = 2

理由は見ればわかる： $A_{0} (B_{0} + B_{1}) + A_{1} (B_{0} - B_{1})$ で、 $B_{0} + B_{1}$ と $B_{0} - B_{1}$ のどちらかは必ず0だから。確率的に混ぜても凸結合なので上限は変わらない。

Bell–CHSH不等式　答えの表（局所隠れ変数）で説明できる相関は、必ず $∣ S ∣ \leq 2$ 。

1.2 量子は $22$ を出す：数値検証

シングレット状態 $(∣01 ⟩ - ∣10 ⟩) / 2$ で、測定角 $a$ と $b$ の相関は $E (a, b) = - cos (a - b)$ になる（検証： $E (0, π /4) = - 0.7071067812$ 、理論値と10桁一致）。最適な角度（ $a_{0} = 0, a_{1} = \frac{π}{2}, b_{0} = \frac{π}{4}, b_{1} = - \frac{π}{4}$ ）を選ぶと：

∣ S ∣ = 2.8284271247 \dots = 22 > 2

答えの表では作れない相関である。つまり、深さ2の倉庫に入っているのは「あらかじめ決まった答えの表」ではない。靴下説（読みB）は、素朴な形では死んだ。

1.3 自然への問い合わせ結果

これは思考実験ではない。実験は繰り返し行われ、常に量子側が勝っている：

Aspectらの実験（1982）[Aspect–Grangier–Roger 1982]：偏光子を高速切替してCHSH違反を確認。
抜け穴なし実験（2015）：通信の抜け穴と検出の抜け穴を同時に塞いだ3つの独立実験 [Hensen et al. 2015; Giustina et al. 2015; Shalm et al. 2015] がいずれも違反を確認。
この一連の業績に2022年のノーベル物理学賞（Aspect, Clauser, Zeilinger）。

自然は $∣ S ∣ > 2$ を出す。局所的な答えの表は、この宇宙の実装ではない。

2. ではなぜ $22$ で止まるのか：Tsirelson限界

量子が2を超えるなら、いくらでも超えられるのか？　CHSHの代数的な最大値は4である（4項すべてが±1の極値を取る場合）。ところが量子力学はぴったり $22$ で止まる。これはTsirelsonの定理 [Tsirelson 1980] で、鍵は演算子の恒等式

B^{2} = 4 I + [A_{0}, A_{1}] \otimes [B_{1}, B_{0}]

にある（ $B$ はCHSHに対応する演算子、 $[\cdot, \cdot]$ は交換子＝順序を入れ替えた差）。数値検証：

最適測定でのCHSH演算子の固有値： ${- 22, 0, 0, + 22}$ （ $\pm 2.8284271247$ 、厳密に一致）
恒等式の残差： $1.8 \times 1 0^{- 15}$

読み下すと：古典（すべてが可換＝交換子ゼロ）なら $B^{2} = 4 I$ で上限2。量子の超過分は、測定順序の非可換性そのものであり、交換子のノルムは高々2×2＝4だから $B^{2} \leq 8 I$ 、すなわち $∣ S ∣ \leq 22$ 。

前シリーズの読者には既視感があるはずだ。前シリーズ第29稿で「三つの天井」（カオス限界・量子速度限界・セクター飽和）が「率×解析性の幅≦普遍定数」に統一された。Tsirelson限界もまた「非可換性が許す超過の上限」という同型の天井である。

3. 深さの帳簿：倉庫は同じ、容量が違う

「靴下ではない」を、前シリーズの深さの語彙で定量化しておく。2粒子系で深さ2（ペアの相関）に置ける情報量を、量子と古典で比べる：

状態	$S (A)$	$S (B)$	$S (A B)$	相互情報量 $I (A : B)$
Bell状態（量子もつれ）	1.000000	1.000000	0.000000	2.000000 ビット
古典相関（00/11を半々）	1.000000	1.000000	1.000000	1.000000 ビット

どちらも「片方だけ見ると完全にランダム、比べると完全に相関」だが、同じ深さ2の倉庫に、古典は1ビット、量子は2ビット入る。この超過1ビットが「もつれ」の正体の定量的な顔であり、実際に使える——もつれた粒子を1個送るだけで古典2ビットを伝える超高密度符号化 [Bennett–Wiesner 1992] は、この倉庫の容量差をそのまま換金した通信プロトコルである。

まとめると、深さ2の倉庫に入っているのは：

答えの表（古典・1ビット）ではなく、
どの測定の組に対しても $- cos (a - b)$ を返す相関関数そのもの（量子・2ビット）——古典の表では $∣ S ∣ \leq 2$ までしか実現できない強さの相関。

4. 残った仕事

Q2（靴下か）は「No」で確定した。だが攻略はまだ終わらない：

Q3（では何なのか）への最終解答：ここまでの部品——飛ばない・表でもない・ $22$ の相関関数——を機構として組み上げる。
相関は無限に配れるのか：靴下なら何足でもコピーできる。量子の相関には配分制限（モノガミー）があるはずで、それが「資源」としての実体を与える。
なぜ $22$ なのか、の一段深い理由：no-signalingだけなら4まで許されることを見る（PRボックス）。自然が $22$ を選んだ理由は何か。

次稿（最終稿）でこの三つを片づける。

5. 本稿の結果一覧

結果	等級
局所隠れ変数の上限 $∣ S ∣ \leq 2$ （全16戦略の総当たり）	検証済み（全数）
シングレットの $∣ S ∣ = 22$ （10桁一致）	検証済み
実験による違反確認	確立された事実（2015抜け穴なし・2022ノーベル賞）
Tsirelson恒等式 $B^{2} = 4 I + [A_{0}, A_{1}] \otimes [B_{1}, B_{0}]$ （残差 $1 0^{- 15}$ ）と固有値 $\pm 22$	検証済み
深さ2倉庫の容量：古典1ビット／量子2ビット	検証済み
量子もつれ＝靴下（局所隠れ変数）説	棄却

参考文献

J. S. Bell, Physics 1 (1964) 195：ベルの定理の原論文。
J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 880：CHSH不等式。
B. S. Tsirelson, Lett. Math. Phys. 4 (1980) 93：量子上限 $22$ 。
A. Aspect, P. Grangier, G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 91：初期の決定的実験。
B. Hensen et al., Nature 526 (2015) 682；M. Giustina et al., PRL 115 (2015) 250401；L. K. Shalm et al., PRL 115 (2015) 250402：抜け穴なしベルテスト。
C. H. Bennett, S. J. Wiesner, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2881：超高密度符号化。
M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge UP (2000)。