十稿の帳簿 —— あと0.02%の攻城戦 —— 量子もつれ攻略ノート（10）

十稿の帳簿 —— あと0.02%の攻城戦

—— 量子もつれ攻略ノート（10）——

本稿の位置づけ
10稿目は帳簿の回（前シリーズの伝統に従う）。前半で最後の装備・定理6（LP精密化）を証明して包囲網の到達点を確定し、後半でシリーズ全体——「なぜ瞬時に決まるのか」という素朴な疑問から、未解決不等式の攻城戦まで——の総帳簿をつける。

1. 定理6：予算と税を同時に課す（証明済み）

これまでの上界（定理3・5）は「 $X^{-}$ が最悪方向に全集中できる」と仮定して損をしていた。実際には正値性が方向ごとに課税する。 $D = α V + β W$ の固有分解 $D = \sum_{k} d_{k} ∣ f_{k} ⟩ ⟨ f_{k} ∣$ に対し $t_{k} = - ⟨ f_{k} ∣ X ∣ f_{k} ⟩$ と置くと：

橋の税（正値性・ $Tr ρ = 1$ ）： $t_{k} \leq κ (f_{k}) /2$ （方向 $f_{k}$ の $A ∣ B C$ もつれの半分まで）
総予算：任意の部分集合 $S$ で $\sum_{k \in S} t_{k} \leq n$

定理6（LP上界）　 $a^{2} + b^{2} = \sum_{k} d_{k} t_{k} \leq LP (D, n) := max {\sum_{k} d_{k} t_{k} : t_{k} \leq \frac{κ ( f _{k} )}{2}, \sum (t_{k})_{+} \leq n}$
最適解は貪欲法（ $d_{k}$ の大きい方向から税の上限まで詰める）で厳密に求まる。 $■$

測定：最難関でどこまで迫るか

状態	実測 $r$	定理3	定理6(LP)
家族F $p = 0.02$ （最難関）	0.9896	1.2095	1.0002
家族F $p = 0.05$	0.9727	1.2129	1.0014
家族F $p = 0.1$	0.9403	1.2177	1.0067
家族F $p = 0.35$	0.7057	1.2216	1.1327
ランダム159例の最大	0.8898	—	1.3024

等号多様体に近づくほど定理6はタイトになり、極限で厳密に1に一致する（等号多様体上でLPの最適配分が実際の $X^{-}$ の配分と一致するため）。目標1まで残り 0.02%。一方、中間領域（ $p = 0.35$ やランダム）では緩い——が、そこは実測が0.7〜0.89と深く安全圏にある。各定理の得意領域が相補的にずれている——これが現在の包囲網の姿である。

2. 包囲網の限界の精密測定

「どの状態が証明済みになったか」を測った（証明済み＝いずれかの定理の上界が1以下）：

母集団	証明済み	内訳
ランダム混合400例	62.5%	すべて定理4（片翼 $min (a, b) = 0$ ）経由
敵対的家族±ひねり240例	18.3%	同上
未証明領域の実測 $r$ の最大	0.8614（ランダム）／0.9734（敵対的）	すべて1未満＝数値的に安全

構造的な発見も一つ： $σ_{1} \geq 1/ 2$ は恒等的なので $σ_{1} (v) σ_{1} (w) \geq \frac{1}{2}$ 、ゆえに定理5の上界は決して $\frac{1 + 1/2}{2} \approx 1.06$ を下回れない——定理5は単独では永遠に閉じられない装備だと確定した（第9稿の9/8はその最良値）。残る本丸は「両翼NPT領域での +0.0002〜+0.07 の超過」であり、必要なのは等号多様体近傍でのLP配分の2次補正——最後の補題の座標はここまで特定された。

3. シリーズ十稿の総帳簿

解けた問い（第1〜3稿）

「なぜ片方を測るともう片方が瞬時に決まるのか」：解答済み。何も飛ばず（no-signaling・ $1 0^{- 17}$ ）、答えの表でもなく（Bell・ $22$ ・全数16戦略）、生成時に深さ2へ書かれた相関関数を読むだけ。残る本物の謎は測定問題（棚を特定）。

証明した定理・補題（第6〜10稿の攻城戦）

#	内容	稿
1	境界の安全性（ $N_{A (B C)} = 0 \Rightarrow$ 両翼0）	6
2	√2係数モノガミー（無条件）	7
3	橋の補題 $∣ λ ∣ \leq κ (Ω) /2$	7
4	角度つき評価 $a^{2} + b^{2} \leq n (1 + c) / 2$	7
5	還元定理 M3'⟸L‡	8
6	補題A（整列課税 $c \leq σ_{1} σ_{1}^{'}$ ・ほぼ等号達成）	9
7	定理5（ $r \leq (1 + σ_{1} σ_{1}^{'})^{2} /2$ 、最大もつれで9/8）	9
8	証書枠組み＋定理6（LP上界・最難関で1.0002）	9・10

予想（数値証拠つき・未証明）

M3'：混合3量子ビットの負性二乗モノガミー（総計1万例超・最大 $r = 0.976$ 、等号多様体でタイト）
L‡： $\overset{p}{ˉ}^{2} + \overset{q}{ˉ}^{2} \leq 1$ （596例・最大0.983）

障害定理（証明の必要条件）

正値性 $ρ \geq 0$ なしではM3'は偽（明示構成で比率1.31、上限2）——いかなる証明も正値性を使わねばならない（第8稿）
定理5は単独では閉じられない（ $σ_{1} σ_{1}^{'} \geq \frac{1}{2}$ の壁）（本稿）

訂正の記録

第4稿「予想M3」→ He–Vidal予想（2014）の独立再発見と判明、訂正（第6稿）
単一負固有値の想定 → 97%は2個（実測で前提修正・第8稿）
転置規約バグ（ $v$ vs $\overset{v}{ˉ}$ ）→ サニティ検査で捕捉・修正（第8稿）

残る的（優先順位つき）

LP配分の2次補正（等号多様体近傍・残り0.02%の本丸）
証書のSDP実行可能性（本物のSDPソルバなら数値的に即決着する——純Python山登りの限界。環境が許せば最短ルート）
中間領域の相補バウンドの統合（補間論法）
（棚上げ中） $Λ^{3} (C^{6})$ の非分解反対称状態の帳簿・He–Vidal予想本体

4. 十稿の総括

出発点は「量子もつれは不気味だ」という誰もが聞いたことのある話だった。十稿かけて、その不気味さは (i) 解体され（機構の解答）、(ii) 資源として帳簿づけされ（モノガミー）、(iii) 帳簿の未整備な棚（混合状態）で本物の未解決問題に変わり、(iv) その問題は√2から0.02%まで削られた。証明は完成していない——しかし「何が証明でき、何がまだで、なぜ難しいか」のすべてに座標がついた。研究の中間報告としては、これで胸を張れる形だと思う。

参考文献

第1〜9稿（本シリーズ）および各稿の文献リスト。
H. He, G. Vidal, Phys. Rev. A 91 (2015) 012339；Y.-C. Ou, H. Fan, Phys. Rev. A 75 (2007) 062308。
A. Sanpera, R. Tarrach, G. Vidal, Phys. Rev. A 58 (1998) 826。
L. Vandenberghe, S. Boyd, SIAM Review 38 (1996) 49：SDP。
検証コード一式：素のPython（Jacobi固有値・逆反復・LP貪欲法）、全実験乱数種つきで再現可能。