残り0.02%をどう詰めるか —— 量子もつれ攻略ノート（10）

本稿の位置づけ
10稿目は総括の回（前シリーズの伝統に従う）。前半で最後の道具・定理4（LP精密化）を証明して上界の到達点を確定し、後半でシリーズ全体（「なぜ瞬時に決まるのか」という素朴な疑問から、未解決不等式の詰めまで）を一覧に整理する。題の「残り0.02%」は、証明できている上界と、証明したい目標値との差である（数字は1節で示す）。

1. 定理4：総量と方向ごとの上限を同時に課す（証明済み）

先に、詰めている対象を思い出しておく。予想M3'（第6稿）は、混合3量子ビット状態について「AB間のもつれとAC間のもつれの二乗和は、Aと残り二体をまとめた分割のもつれの二乗を超えない」という主張だった。もつれの物差しは負性、すなわち部分転置に立つ負の固有値の重みである。以下では、二体側の二つの負性の二乗和の平方根を、A対BC分割の負性で割った比を使う。この比が1以下なら予想は成立し、上界を1まで下げられれば証明が完成する。

これまでの上界（定理2・3）は「 $X^{-}$ が最悪方向に全集中できる」（部分転置の負の重みが、都合の悪い一方向にすべて寄せられる）と仮定して損をしていた。実際には正値性が方向ごとに上限を課す。 $D = α V + β W$ の固有分解 $D = \sum_{k} d_{k} ∣ f_{k} ⟩ ⟨ f_{k} ∣$ に対し $t_{k} = - ⟨ f_{k} ∣ X ∣ f_{k} ⟩$ と置くと：

橋の補題による上限（正値性・ $Tr ρ = 1$ ）： $t_{k} \leq κ (f_{k}) /2$ （方向 $f_{k}$ の $A ∣ B C$ もつれの半分まで）
総量の制約：任意の部分集合 $S$ で $\sum_{k \in S} t_{k} \leq n$

定理4（LP上界）　 $a^{2} + b^{2} = \sum_{k} d_{k} t_{k} \leq LP (D, n) := max {\sum_{k} d_{k} t_{k} : t_{k} \leq \frac{κ ( f _{k} )}{2}, \sum (t_{k})_{+} \leq n}$
証明　直前に挙げた二つはどちらも配分に対する線形の制約であり、実際の配分は必ず両方を満たす。よって制約下での最大値がそのまま上界になる。最適解は貪欲法（ $d_{k}$ の大きい方向から上限まで詰める）で厳密に求まる。 $■$

測定：最難関でどこまで迫るか

状態	実測 $r$	定理2	定理4(LP)
族F $p = 0.02$ （最難関）	0.9896	1.2095	1.0002
族F $p = 0.05$	0.9727	1.2129	1.0014
族F $p = 0.1$	0.9403	1.2177	1.0067
族F $p = 0.35$	0.7057	1.2216	1.1327
ランダム159例の最大	0.8898	—	1.3024

等号多様体に近づくほど定理4はタイトになり、極限で厳密に1に一致する（等号多様体上でLPの最適配分が実際の $X^{-}$ の配分と一致するため）。等号多様体とは、第7稿で特定した「予想が等号で成り立つ状態」の集まりのことで、片翼のもつれが0、もう片翼が上限を使い切る型である。

最難関の状態で証明できている上界は1.0002、証明したい目標は1。超過は0.0002、目標値に対して0.02%である。これが題の「残り0.02%」の中身であり、以降で詰めるのはこの0.0002だけになる。一方、中間領域（ $p = 0.35$ やランダム）では緩いが、そこは実測が0.7〜0.89と深く安全圏にある。各定理の得意領域が相補的にずれている。これが現在の上界の全体像である。

2. 証明可能な範囲の精密測定

「どの状態が証明済みになったか」を測った（証明済み＝いずれかの定理の上界が1以下）：

母集団	証明済み	内訳
ランダム混合400例	62.5%	すべて片翼が退化する場合（ $min (a, b) = 0$ 、第7稿の定理1の個別支配から直ちに従う）経由
敵対的な族±ひねり240例	18.3%	同上
未証明領域の実測 $r$ の最大	0.8614（ランダム）／0.9734（敵対的）	すべて1未満＝数値的に安全

構造的な発見も一つ： $σ_{1} \geq 1/ 2$ は恒等的なので $σ_{1} (v) σ_{1} (w) \geq \frac{1}{2}$ 、ゆえに定理3の上界は決して $\frac{1 + 1/2}{2} \approx 1.06$ を下回れない。目標は1だから、定理3は単独では永遠に閉じられない道具だと確定した。この1.06は比の平方根の側で書いた値で、二乗すると第9稿の9/8にあたる（同じ限界を尺度を変えて述べたもので、9/8がその最良値である）。

残る核心は、両翼NPT領域（AB側もAC側も負性が正で、片翼が0という逃げ道が使えない領域）に残るLP上界の超過であり（1節の表のとおり、超過は行によって $+ 0.0002$ から $+ 0.3024$ まで桁が違う）、必要なのは等号多様体近傍でのLP配分の2次補正である。最後の補題の座標はここまで特定された。

3. シリーズ十稿の結果一覧

十稿は性格の違う二層でできている。第1〜3稿は、量子もつれの有名な疑問そのものを解体する層（既に答えのある物理を自分の手で検算して読み下す回）。第4稿以降は、その解体に使った道具の足元に残っていた未解決問題へ自分で踏み込む層（答えが誰にもない問題に取り組む回）である。以下もこの二層に分けて並べる。ただし下の一覧は証明できた結果を並べたものなので、第4稿と第5稿はそこには現れない（第4稿は後の「訂正の記録」に登場する）。

第1〜3稿：解けた問い（解説の層）

「なぜ片方を測るともう片方が瞬時に決まるのか」：解答済み。何も飛ばず（no-signaling・ $1 0^{- 17}$ ）、答えの表でもなく（Bell・ $22$ ・全数16戦略）、生成時に深さ2へ書かれた相関関数を読むだけ。残る本物の謎は測定問題（所在は特定済み）。

第6〜10稿：証明した定理・補題（未解決問題に踏み込む層）

左端の番号は、この表の中での通し番号である（各稿での定理番号ではない）。

#	内容	稿
1	境界の安全性（ $N_{A (B C)} = 0 \Rightarrow$ 両翼0）	6
2	√2係数モノガミー（無条件）	7
3	橋の補題 $∣ λ ∣ \leq κ (Ω) /2$	7
4	角度つき評価 $a^{2} + b^{2} \leq n (1 + c) / 2$	7
5	還元定理 M3'⟸L‡	8
6	補題A（整列による制限 $c \leq σ_{1} σ_{1}^{'}$ ・ほぼ等号達成）	9
7	定理3（ $r \leq (1 + σ_{1} σ_{1}^{'})^{2} /2$ 、最大もつれで9/8）	9
8	証明書の枠組み＋定理4（LP上界・最難関で1.0002）	9・10

予想（数値証拠つき・未証明）

M3'：混合3量子ビットの負性二乗モノガミー（総計1万例超・最大 $r = 0.988$ 〔第6稿の敵対的最適化〕、本稿1節の族F $p = 0.02$ でも $r = 0.9896$ 、等号多様体でタイト）
L‡： $\overset{p}{ˉ}^{2} + \overset{q}{ˉ}^{2} \leq 1$ （596例・最大0.983）

障害定理（証明の必要条件）

正値性 $ρ \geq 0$ なしではM3'は偽（明示構成で比率1.31、上限2）。いかなる証明も正値性を使わねばならない（第8稿）
定理3は単独では閉じられない（ $σ_{1} σ_{1}^{'} \geq \frac{1}{2}$ による限界）（本稿）

訂正の記録

第4稿「予想M3」→ He–Vidal予想（2014）の独立再発見と判明、訂正（第6稿）
単一負固有値の想定 → 97%は2個（実測で前提修正・第8稿）
転置規約バグ（ $v$ vs $\overset{v}{ˉ}$ ）→ サニティ検査で捕捉・修正（第8稿）

残る課題（優先順位つき）

LP配分の2次補正（等号多様体近傍・残り0.02%の核心）
証明書のSDP実行可能性（本物のSDPソルバなら数値的に即決着する。純Python山登りの限界であり、環境が許せば最短ルート）
中間領域の相補バウンドの統合（補間論法）
（棚上げ中） $Λ^{3} (C^{6})$ の非分解反対称状態の一覧・He–Vidal予想本体

4. 十稿の総括

出発点は「量子もつれは不気味だ」という誰もが聞いたことのある話だった。十稿かけて、その不気味さは (i) 解体され（機構の解答）、(ii) 資源として一覧に整理され（モノガミー）、(iii) その整理が及んでいない領域（混合状態）で本物の未解決問題に変わった。そして (iv) その問題の上界は、無条件の√2から、最難関の状態でも目標値を0.02%上回るだけのところまで削られた。証明は完成していない。しかし「何が証明でき、何がまだで、なぜ難しいか」のすべてに座標がついた。研究の中間報告としては、これで胸を張れる形だと思う。

参考文献

第1〜9稿（本シリーズ）および各稿の文献リスト。
H. He, G. Vidal, Phys. Rev. A 91 (2015) 012339；Y.-C. Ou, H. Fan, Phys. Rev. A 75 (2007) 062308。
A. Sanpera, R. Tarrach, G. Vidal, Phys. Rev. A 58 (1998) 826。
L. Vandenberghe, S. Boyd, SIAM Review 38 (1996) 49：SDP。
検証コード一式：素のPython（Jacobi固有値・逆反復・LP貪欲法）、全実験乱数種つきで再現可能。