なぜ片方を測ると、もう片方が瞬時に決まるのか —

なぜ片方を測ると、もう片方が瞬時に決まるのか

—— 量子もつれ攻略ノート（1）——

本稿の位置づけ
新しいシリーズを始める。標的は量子エンタングルメント（量子もつれ）の有名な疑問——もつれた粒子の片方を測ると、どんなに離れていてももう片方の状態が瞬時に決まるのはなぜか。光速を超えて何かが伝わっているのではないか。
この標的を選んだ理由は、前シリーズ（発散情報保存理論・全40稿）で磨いた道具——情報の「深さ」という語彙、そして「動詞を疑う」という流儀——がそのまま使えそうだからである。前シリーズの結論の一つは「ブラックホールの情報は動かない、観測者の地平が動く」だった。今回の疑問にも、同じ型の罠——間違った動詞——が仕掛けられている気がしている。
いつも通り、主張には検証をつける。本シリーズの計算はすべて外部ライブラリなしの素のPythonで再現できる。

1. 疑問を正確に書く

1.1 現象

2つの量子ビット（例えば光子の偏光のペア）を、Bell状態と呼ばれる状態に用意できる：

∣ Φ^{+} ⟩ = \frac{∣00 ⟩ + ∣11 ⟩}{2}

読み下すと：「両方0」と「両方1」の重ね合わせであり、どちらか一方だけが単独で状態を持っていない。この2粒子を、片方は手元に、もう片方は月へ送る。手元の粒子を測って0が出たら、月の粒子は測れば必ず0が出る状態にその瞬間なる。1なら1に。

アインシュタインたちはこれを1935年に指摘し [Einstein–Podolsky–Rosen 1935]、「不気味な遠隔作用（spukhafte Fernwirkung）」と呼んで量子力学の不完全性の証拠だと主張した。測った瞬間に月まで「何か」が届くなら、光速の壁（相対論）が壊れているように見える。

1.2 疑問の解剖：「瞬時に決まる」の二つの読み

ここが本シリーズの出発点である。「片方を測るともう片方が瞬時に決まる」という文には、まったく違う二つの解釈が同居している：

読みA（伝達説）：測定の瞬間、粒子Aから粒子Bへ何かが飛ぶ。だから遠隔作用であり、光速の壁が問題になる。
読みB（記録説）：答えはペアが作られたときに書き込まれていた。測定は封筒を開けただけ。開けた瞬間に相手の封筒の中身が「わかる」のは当たり前で、何も飛んでいない。

読みBの日常版は「Bertlmannの靴下」として知られる [Bell 1981]。ベルトルマン氏は必ず左右違う色の靴下を履く。左足がピンクだと見えた瞬間、右足はピンクでないと「瞬時にわかる」——遠隔作用ではなく、ただの相関である。

疑問を攻略可能な形に分解すると：

Q1：読みAは成り立つか。つまり、測定によって実際に何かが飛んでいるか。
Q2：読みBは成り立つか。つまり、量子もつれは靴下と同じ（あらかじめ決まった答えの表）か。
Q3：どちらでもないなら、では何なのか。

本稿ではQ1を仕留める。

2. Q1の答え：何も飛んでいない（no-signaling定理）

2.1 主張

定理（no-signaling）　Aliceが自分の粒子に何をしても——どの向きで測っても、測らなくても——Bobの側で観測できる統計は一切変化しない。

これが正しければ、読みA（伝達説）は死ぬ。「何かが飛んでいる」のに、受け手側で原理的に何一つ検出できないなら、物理としてそれは「飛んでいない」と同義である。とくに、もつれを使って光速超えの通信はできない——相対論との衝突は最初から存在しない。

2.2 証明の骨子

Bobに見えるすべては、Bobの縮約密度行列 $ρ_{B} = Tr_{A} (ρ_{A B})$ （全体からAliceの分を数え落とした行列）で決まる。Aliceの操作は $\sum_{k} (M_{k} \otimes I) ρ_{A B} (M_{k}^{†} \otimes I)$ の形をとり、部分トレースの巡回性から

Tr_{A} (k \sum (M_{k} \otimes I) ρ_{A B} (M_{k}^{†} \otimes I)) = ρ_{B}

——Aliceの添字だけで閉じている操作は、Bobの行列を変えられない。数行の代数である [教科書として Nielsen–Chuang 2000, §2.4]。

2.3 数値検証

Bell状態に対し、Aliceが5通りの向き（0, 0.3, π/4, 1.234, π/2 ラジアン）で測定した後のBobの密度行列を、測定前と比較した：

Aliceの測定角	$∥ ρ_{B} (後) - ρ_{B} (前) ∥$
0.0000	$0$
0.3000	$8.1 \times 1 0^{- 17}$
0.7854 (π/4)	$8.8 \times 1 0^{- 17}$
1.2340	$3.9 \times 1 0^{- 17}$
1.5708 (π/2)	$0$

機械精度で不変。Bobの手元は、月にあろうとアンドロメダにあろうと、Aliceが何をしようとぴくりとも動かない。

2.4 では「瞬時に決まる」ように見えたのは何だったのか

Aliceの結果を知る前のBobにとって、粒子は確率半々の雑音でしかない（ $ρ_{B} = I /2$ 、上の表の通り）。「Bobの粒子が0に決まった」と言えるのは、Aliceの結果という条件で条件づけたときだけであり、その条件をBobが知るには古典通信——光速以下——が必要である。

つまり「瞬時に決まる」の実態は：相関の記録は最初からあり、条件つき分布は定義上瞬時に更新されるが、それを使える者は誰もいない（通信が届くまで）。動詞を訂正すると——

測定は何も送らない。測定は、すでにある相関の自分側を読むだけである。

3. 深さの言葉で言い直す

前シリーズの語彙を使うと、この構造は一言で書ける。Bell状態の情報は深さ2にある——どちらか1粒子をどう測っても得られる情報はゼロ（縮約が最大混合）で、2粒子を比べたときに初めて読める。

相関が書き込まれたのは、ペアが局所的に作られた瞬間（2粒子が同じ場所で相互作用したとき）。
その後2粒子がどれだけ離れても、記録は深さ2に置かれたまま動かない。
測定は各自が自分側の断片を読む行為。断片同士を比べる（深さ2の読み出しを完成させる）には、古典通信で二つの断片を同じ場所に集めるしかない。

前シリーズ第40稿の「情報は動かない、地平が動く」と同じ型である。ここでも情報は動かない——観測者が深さ2の読み出しを完成できる瞬間が、光速で制限されているだけだ。

4. 残った疑問：靴下なのか（Q2）

Q1は片づいた。何も飛んでいない。すると疑問は読みBに移る——では量子もつれは、Bertlmannの靴下と同じなのか？ ペア生成時に「Aは0、Bは0」という答えの表が（我々に見えないだけで）書き込まれていた、というだけの話なのか。

もしそうなら、この疑問に神秘は一切残らない。そして実は、アインシュタインが望んだのはまさにこの描像（隠れた変数）だった。

ところが——これが次稿の主題だが——1964年、John Bellがこの「最初から答えの表があった説」を実験で白黒つけられる不等式に変えてしまった [Bell 1964]。そして自然は、表がありえないほうに答えた。靴下では説明できない何かが、深さ2の倉庫に入っている。次稿でその「何か」を数える。

5. 本稿の結果一覧

結果	等級
疑問の分解（伝達説A／記録説B）	整理
no-signaling定理（Aliceの操作はρ_Bを変えない）	定理（数行の代数）
5測定角での数値検証 $1 0^{- 17}$	検証済み
「瞬時に決まる」＝条件つき分布の更新（使用には古典通信必須）	導出
深さの読み替え：相関は生成時に深さ2に書かれ、動かない	翻訳（前シリーズの語彙）
量子もつれ＝靴下（隠れた変数）か	未解決（次稿）

参考文献

A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, Phys. Rev. 47 (1935) 777：EPRパラドックスの原論文。
J. S. Bell, Bertlmann's socks and the nature of reality, J. Phys. Colloques 42 (1981) C2-41：靴下の比喩の出典。
J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen paradox, Physics 1 (1964) 195：次稿の主役。
M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge UP (2000)：no-signalingを含む標準教科書。
前シリーズ「発散情報保存理論」（全40稿・全7冊）：情報の深さの定義（第5稿）、情報は動かない・地平が動く（第40稿）。